О связи определений измеримых функций

[RAD]

Здравствуйте коллеги.

Мне попался такой вопрос, прошу помощи в выборе литературы, или любую другую помощь, хотелось бы самому основательно разобраться:

"О связи двух определений измеримых функций: через поточечные пределы и через измеримые множества."

Естественно сами определения вопросов не вызывают, а вот найти что либо об этой связи, перерыв кучу литературы, я так и не смог.

[мат-ламер]

Возьмём для примера такую измеримую функцию. Пусть она задана на прямой, равна нулю для рациональных значений аргумента и равна единице для иррациональных значений. И какие точечные пределы тут просматриваются? Вообще на прямой есть связь между измеримостью и непрерывностью (С-свойство Лузина). Может это имелось в виду?

[мат-ламер]

Может имеется в виду аппроксимативная непрерывность? - Брудно. ТФДП. Гл.4, пар.2.

[RAD]

в этом вопросе как оказалось нужно доказать 2 теоремы:

1. Пусть на измеримом множестве $E$ задана монотонная неубывающая последовательность $f_n \le f_{n+1}$ и пусть $\lim_{n \to \infty} f_n(x)=f(x)$ тогда
множества$\{ x: c_1 < f(x) <c_2 \}$.
А вот ход доказательства мне не много не ясен. Оно основывается на следующем представлении
$\{ x:f(x)>c \} =\bigcup_{n=1}^{\infty} \{ x:f_n(x)>c \}$

Далее доказывается что х принадлежит и правой и левой части представления, а почему это доказывается никак понять не могу. Так сказать ход доказательства не ясен мне.

[PAV]

Переезжаем из дискуссионного раздела в учебный

[BapuK]

что утверждается то про множества $\{ x: c_1 < f(x) <c_2 \}$?

[RAD]

а что оно измеримо по лебегу

[BapuK]

Наверняка в условии сказано, что функции $f_n$ тоже измеримы.
Про ход доказательства: нам нужно показать, что какое-то множество измеримо. Мы показываем, что оно равно счетному объединению измеримых, а потому и само будет измеримо...