Нормальные подгруппы

[JMH]

Задача следующая: доказать, что симметрическая группа $\mathfrak{G}_4$ имеет лишь две нетривиальные нормальные подгруппы - знакопеременную группу $\mathfrak{U}_4$ и четверную группу Клейна $\mathfrak{B}_4$.

Можно, конечно, решать задачу "в лоб": перебором найти все подгруппы, а затем проверить их на нормальность. Вопрос следующий: имееются ли более интересные/изящные пути к решению подобных задач?
Заранее большое спасибо.

[bot]

Два элемента симметрической группы сопряжены тогода и только тогда, когда они имеют одинаковое циклическое строение, то есть при разложении в произведение независимых циклов совпадают порядки этих циклов (что в цикле неважно).
Отсюда всё и следует.

[JMH]

Прошу прощения за запоздалый ответ. Правильно ли я понял, что под порядком цикла подразумевается порядок элемента, состоящего из одного этого цикла? - тогда порядок цикла совпадает с его длиной. Далее, нормальная подгруппа содержит все элементы, сопряжённые с элементами самой нормальной подгруппы. Т.к., в соответствии с тем, что Вы сказали, сопряжённые элементы имеют одинаковую циклическую структуру (я, кстати, не знаю, как это доказать), то вместе с элементом $(i_k\dots i_m)\dots(i_l\dots i_n)$ нормальная подгруппа должна содержать все элементы группы такого вида (структуры), что подтверждается на примере знакопеременной группы (все циклы длины 3 и произведения циклов длины 2) и четверной группы Клейна (произведения циклов длины 2). Т.о. проверка на нормальность сводится к выяснению все ли элементы группы данной циклической структуры в неё (подгруппу) входят.

Осталось два вопроса: как убедиться в том, что найдены все подгруппы и, всё-таки, как доказывается то, что сопряжённые элементы имеют одинаковое циклическое строение?

[VAL]

JMH в сообщении #458548 писал(а):

Осталось два вопроса: как убедиться в том, что найдены все подгруппы и, всё-таки, как доказывается то, что сопряжённые элементы имеют одинаковое циклическое строение?

То, что элементы сопряжены тогда и только тогда, когда они имеют одинаковое цикловое строение можно доказать в лоб. Ну или посмотреть доказательство в книжке. Например, Каргаполов, Мерзляков "Основы теории групп", стр. 31.

Возможные цикловые виды элементов $S_4$: 1-1-1-1, 2-1-1, 2-2, 3-1, 4.
Единственный элемент вида 1-1-1-1 образует тривиальную нормальную подгруппу.
Элементы вида 2-2 (вместе с нейтральным) образуют четверную группу Клейна.
Элементы вида 3-1 вместе с элементами 2-2 образуют знакопеременную группу $A_4$.
Единственной подгруппой, содержащей все транспозиции является сама $S_4$. Аналогично для циклов длины 4.