Сумма сумм цифр в двоичной записи

[Xenia1996]

Для каждого натурального $n$ определим $s(n)$ как сумму цифр в двоичной записи числа $n$
Найти $s(1)+s(2)+s(3)+\dots +s(2^k)$ для каждого натурального $k$

[caxap]

В каждом разряде единица встретится $2^k/2$ раз. Плюс один от $2^k$. Итого $k2^{k-1}+1$.

[Xenia1996]

caxap в сообщении #454391 писал(а):

В каждом разряде единица встретится $2^k/2$ раз. Плюс один от $2^k$. Итого $k2^{k-1}+1$.

Не обсчитались
Для двоичной это легко. А вот обобщить на основание $ b $...

[caxap]

Аналогично. В каждом разряде каждая цифра встретится $b^k/b$ раз. Получаем

$$b^{k-1}(1+\ldots+(b-1))\cdot k+1=\frac{k b^k (b-1)}2+1\,.$$