2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Предел последовательности средних арифметических
Сообщение04.06.2011, 11:15 
Аватара пользователя


22/09/08
174
Пусть даны два числа $x_1=a < x_2=b$.
Найдем среднее арифметическое:$$ x_3=\frac{x_1+x_2}{2} $$
Далее будем находить среднее между двумя предыдущими значениями, т.е.:
$$ x_k=\frac{x_{k-1}+x_{k-2}}{2}, k=3,.. $$
То, что эта последовательность имеет предел, легко доказать по неравенствам. А вот найти этот предел я смог только "в лоб".
Предположим, что $x_k=q^k$. Получаем характеристическое уравнение:$$2q^2-q-1=0$$
с корнями $1;-\frac{1}{2}$. Полагая $x_k=C_1q_1^k+C_2q_2^k$ и используя исходные данные, получаем:
$$x_k=\frac{a+2b}{3}+(-1)^k\frac{a-b}{3 \cdot 2^{k-1}}$$
Переходя к пределу, получаем удивительно простое выражение:
$$x_{\ast}=\frac{a+2b}{3}$$
Напрашивается идея, что этот предел можно получить более простым и красивым способом, ну, хотя бы предположив, что $x_{\ast}=\alpha\cdot a+\beta\cdot b $ и т.д., но что-то ничего путного не получается.
:?: :?:
И вот еще вопрос. Возьмем $n>2$ точек в $m$-мерном пространстве. Отбросим одну из них и найдем "центр масс" остальных; отбросив каждую по разу, найдем $n$ новых центров масс. Повторим операцию для этого множества и т.д. Я вроде начал мутить с векторами, а нельзя ли сразу предсказать, что получится?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности
Сообщение04.06.2011, 11:26 
Заслуженный участник


13/12/05
3936
Lesobrod в сообщении #453879 писал(а):
И вот еще вопрос. Возьмем $n$ точек в $m$-мерном пространстве. Отбросим одну из них и найдем "центр масс" остальных; отбросив каждую по разу, найдем $n$ новых центров масс. Повторим операцию для этого множества и т.д. Я вроде начал мутить с векторами, а нельзя ли сразу предсказать, что получится?

Кроме $n=2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности
Сообщение04.06.2011, 11:30 
Аватара пользователя


22/09/08
174
Поправил

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности
Сообщение04.06.2011, 12:40 
Заслуженный участник


08/04/08
8505
Lesobrod писал(а):
Переходя к пределу, получаем удивительно простое выражение:
$$x_{\ast}=\frac{a+2b}{3}$$
Напрашивается идея, что этот предел можно получить более простым и красивым способом, ну, хотя бы предположив, что $x_{\ast}=\alpha\cdot a+\beta\cdot b $ и т.д., но что-то ничего путного не получается.

Видимо значение предела надо было угадать, а потом доказать, что предельная точка $x_{\ast}$ принадлежит всем интервалам $(x_{2j-1};x_{2j})$ (причем она даже их делит в одном и том же отношении). Может быть можно рассмотреть сжимающий оператор $f:(x_{2j-1};x_{2j}) \to (x_{2j+1};x_{2j+2})$ - он линейный будет.

-- Сб июн 04, 2011 15:42:43 --

Lesobrod писал(а):
И вот еще вопрос. Возьмем $n>2$ точек в $m$-мерном пространстве. Отбросим одну из них и найдем "центр масс" остальных; отбросив каждую по разу, найдем $n$ новых центров масс. Повторим операцию для этого множества и т.д. Я вроде начал мутить с векторами, а нельзя ли сразу предсказать, что получится?

В случае $n=3$ очевидно :roll: В случае $n=4$ можно 4-хугольник точек аффинно преобразуем в квадрат и тогда тоже очевидно. Видимо, сходится к центру масс.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности средних арифметических
Сообщение10.01.2018, 01:19 


19/11/17
17
Можно заметить, что подпоследовательность, состоящая из, например, нечетных членов исходной последовательности можно описать следующей формулой для $n>1$:
$$y_n = a + (b - a)\sum\limits_{i=1}^{n-1}\frac{1}{2}^{2i - 1}$$
Известно, что подпоследовательность сходящейся последовательности имеет тот же предел. Найдем предел $y_n$:
$$\lim\limits_{n \to \infty}{y_n}= a + (b - a)S_n$$
$S_n = \frac{1/2}{1-1/4} = \frac{2}{3}$ - сумма бесконечной геометрической прогрессии.
Подставляя, получаем:
$$\lim\limits_{n \to \infty}{x_n}=\lim\limits_{n \to \infty}{y_n}= \frac{a+2b}{3}$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group