2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Производная несуществующей функции
Сообщение04.06.2011, 00:43 


04/06/10
117
Читаю тут «Концепции современной математики». Автор описывает случай, как он задал ученикам найти производную от $\log(\log(\sin x))$. Ну они нашли.
Но потом выяснилось, что исходная функция не существует. В отличие от производной.

А можно брать производные от несуществующих функций?

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная несуществующей функции
Сообщение04.06.2011, 00:53 
Аватара пользователя


25/02/10
687
Посмотрите на определение производной и подумайте: как Вы станете находить приращение функции в области, в которой она не существует?

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная несуществующей функции
Сообщение04.06.2011, 01:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
9953
Если нельзя, но очень хочется - то можно. Ну и естественно надо помнить, что производная определяется через предел отношения приращения к ...
Правила дифференцирования всего лишь способ сократить путь (когда он есть).

Исходная функция определена только в определенных точках . Формальная же производная от нее определена тоже не везде а только на интервалах. Поэтому говорить, что функции нет, а производная от нее есть - немного некорректно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная несуществующей функции
Сообщение04.06.2011, 01:07 


04/06/10
117
А если мы взяли тупо по правилам, какой тогда «смысл» будет у функции? Ну, явно не тангенс угла наклона.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная несуществующей функции
Сообщение04.06.2011, 01:13 


19/05/10

3940
Россия
wolf.ram в сообщении #453818 писал(а):
Читаю тут «Концепции современной математики». Автор описывает случай, как он задал ученикам найти производную от $\log(\log(\sin x))$. Ну они нашли.
Но потом выяснилось, что исходная функция не существует.


если рассматривать эту функцию как функцию комплексного переменного то все в порядке
и функция существует и производная)

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная несуществующей функции
Сообщение04.06.2011, 02:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
9953
Цитата:
А если мы взяли тупо по правилам, какой тогда «смысл» будет у функции? Ну, явно не тангенс угла наклона.

Как Вы себе это представляете - взять по правилам производную от функции, которая нигде не определена?
С существованием функции якобы в некоторых точках - эт я соврал конечно. 8-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная несуществующей функции
Сообщение04.06.2011, 04:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5904
Новосибирск
А логарифм по какому основанию? Если меньше 1, то никаких якоби - некоторые точки образуют интервалы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная несуществующей функции
Сообщение04.06.2011, 08:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
wolf.ram, у Вас есть (в голове) программа, которая находит производные. Не глючит, не тормозит - красота! Ей даёшь функцию, она выписывает производную. А дай-ка поглядим, что выйдет, если дать ей бессмысленный набор символов?
Да что угодно! Garbage in, garbage out. Так и воспринимайте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная несуществующей функции
Сообщение04.06.2011, 11:34 
Аватара пользователя


22/12/10
264
Теоретически, можно под всё это какую-то теорию подвести. Скажем, будем определять функцию не как отображение одного множества в другое, а как конструкцию из знаков +, -, *, /, sin, cos, tg, log, скобок итп, подчиняющуюся определённым синтаксическим правилам. В случае функций действительного переменного мы, с одной стороны, уменьшим рассматриваемый класс функций, оставив только элементарные функции, а с другой — увеличим, т.к. среди таких конструкций будут функции наподобие той, что в исходном посте. На множестве таких конструкций можно ввести стандартные действия вполне очевидным путём. Получившееся можно рассматривать с т.з. алгебры, это какая-то алгебраическая структура будет (насколько я понимаю, поле, как минимум, если добавить подходящее отношение эквивалентности). Дальше можно ввести операцию дифференцирования по обычным правилам (т.е. не говоря о каких-то пределах, а просто — производная суммы равна сумме производных, итп). Тогда действия вроде взятия производной от «несуществующей» (почти/совсем нигде не определённой) функции будут наделены каким-то смыслом. Только вот вопрос, зачем всё это?... Можно ли получить в такой алгебраической конструкции какие-нибудь полезные результаты?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная несуществующей функции
Сообщение04.06.2011, 17:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
9953
Интересна обратная задача. Hа интервале $[0+\varepsilon ,\pi/2-\varepsilon] \subset \mathbb R$ задана действительнозначная функция $$g(x) =\dfrac 1 {\ln(\sin x)}\dfrac {\cos x}{\sin x}.$$
Формально интегрируя получаем первообразную $\ln(\ln(\sin x))$ которая не определена нигде. Но функция $g$ непрерывна, следовательно интегрируема по Риману и должна иметь какое-то выражение для определенного интеграла с переменным верхним пределом.
Как он будет выражаться?

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная несуществующей функции
Сообщение04.06.2011, 17:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2736
Физтех
$\[\left[ {\ln \left( { - \ln \sin x} \right)} \right]' = \frac{1}
{{\ln \sin x}}\frac{{\cos x}}
{{\sin x}}\]$ при $\[x \in \left( {0;\frac{\pi }
{2}} \right) \cup \left( {\frac{\pi }
{2};\pi } \right)\]
$.

Т.е. "формальная производная" $ \[\ln \ln \sin x\]$ совпадает с производной $\[{\ln \left( { - \ln \sin x} \right)}\]$ на соотв. множестве. И первообразная $\[\frac{1}
{{\ln \sin x}}\frac{{\cos x}}
{{\sin x}}\]$ равна $\[{\ln \left( { - \ln \sin x} \right)}\]$ (с точностью до константы).

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная несуществующей функции
Сообщение04.06.2011, 18:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
9953
Хм, до неприличия просто

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная несуществующей функции
Сообщение04.06.2011, 18:32 
Заслуженный участник


09/09/10
3729
Dan B-Yallay в сообщении #454031 писал(а):
Хм, до неприличия просто

Ну так ведь $\int \frac{dx}{x} = \ln|x| + C$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная несуществующей функции
Сообщение04.06.2011, 19:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015

(Оффтоп)

Portnov в сообщении #453889 писал(а):
Только вот вопрос, зачем всё это?... Можно ли получить в такой алгебраической конструкции какие-нибудь полезные результаты?...

Алгебра многочленов (и формальных степенных рядов) находит же применение. Там тоже всё формальное, включая дифференцирование и интегрирование. Только вот, наверное, дальше этих алгебр незачем идти. Те же "элементарные функции" можно определить как формальные ряды.

А в символьных матпакетах, по-моему, описанный вами чисто синтаксический подход и используется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная несуществующей функции
Сообщение01.02.2012, 18:56 
Заслуженный участник


27/04/09
28128

(Оффтоп)

caxap в сообщении #454049 писал(а):
А в символьных матпакетах, по-моему, описанный вами чисто синтаксический подход и используется.
Да, вот что Mathematica говорит:
Код:
In >  D[Log[Log[Sin[x]]], x]
Out>  Cot[x] / Log[Sin[x]]
Ни одного предупреждения не выдавая. :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group