Задача на проценты

[Edmonton]

Задание: "В двух одинаковых сосудах, наполненных до половины, находятся вино и вода. Из первого сосуда берётся некоторая часть вина и добавляется во второй, после чего раствор перемешивается и такая же его часть из второго сосуда выливается в первый. В каком из сосудов процентное содержание больше (в первом- воды в вине или во втором-вина в воде?)"

Ход решения:
Пусть в обоих сосудах массы жидкостей равны $M$. Из сосуда с вином мы берём некую массу $m$ и выливаем в сосуд с водой. Тогда $n_1=\frac{m}{ M+m}$. Берём из сосуда, где сначала была только вода, жидкость такой же массы $m$ и наливаем в сосуд с вином. Концентрация воды в этом случае будет равна: $n_2=\frac{m(1-\frac{m}{M+m})}M=\frac{m\frac{M}{m+M}}{M}=\frac{m}{m+M}$.

По ответу концентрации не равны. Помогите найти ошибку...

[e2e4]

Это старая красивая задача. Решать ее можно долго и нудно, а можно быстро и эффектно: в качестве "части" берем ровно половину сосуда (т.е. ровно столько, сколько жидкости находится в одном из сосудов). Дальше - очевидно.

Цитата:

По ответу концентрации не равны. Помогите найти ошибку...

Ответ - неверный, концентрации равны.

[Edmonton]

e2e4 в сообщении #453637 писал(а):

Это старая красивая задача. Решать ее можно долго и нудно, а можно быстро и эффектно: в качестве "части" берем ровно половину сосуда (т.е. ровно столько, сколько жидкости находится в одном из сосудов). Дальше - очевидно.

Цитата:

По ответу концентрации не равны. Помогите найти ошибку...

Ответ - неверный, концентрации равны.

Вы уверены, что ответ неверен? Книжка вроде бы солидная, а в ответах написано - "Доля воды в первом сосуде меньше доли вина во втором сосуде".

[e2e4]

Да, уверен. Погуглите.

Кстати, Ваше решение "в лоб" в принципе верное, однако физически более правильно оперировать не массами, а объемами (ибо отмеряем все-таки некоторой мерой объема, "часть"). Чтобы использовать массы, надо вводить плотность.

[Joker_vD]

Гершензон М.А. в "Головоломки профессора Головоломки" писал(а):

Тут считать ничего не надо. После всех переливаний (делай их сколько хочешь, хоть тысячу) уровень жидкости в обоих стаканах одинаковый, это условие задачи. Но в первом стакане уменьшилось количество чернил и его заменила вода. Откуда взялась эта вода? Из второго стакана. Но уровень жидкости в обоих стаканах по-прежнему одинаков, значит, место отлитой из второго стакана воды заняли чернила, перелитые из первого стакана Часть чернил и часть воды просто поменялись местами, и уровень не изменился. Значит, это были одинаковые части, и теперь в первом стакане столько же воды, сколько чернил во втором.

[Edmonton]

e2e4 в сообщении #453642 писал(а):

Да, уверен. Погуглите.

Кстати, Ваше решение "в лоб" в принципе верное, однако физически более правильно оперировать не массами, а объемами (ибо отмеряем все-таки некоторой мерой объема, "часть"). Чтобы использовать массы, надо вводить плотность.

В голове не укладывается, как в серьёзной книжке мог быть допущен такой прокол...

Я предположил просто, что плотности вина и воды примерно одинаковы. Кстати, а может ли от плотности веществ что-то зависеть?

-- Пт июн 03, 2011 18:51:25 --

Joker_vD в сообщении #453650 писал(а):

Гершензон М.А. в "Головоломки профессора Головоломки" писал(а):

Тут считать ничего не надо. После всех переливаний (делай их сколько хочешь, хоть тысячу) уровень жидкости в обоих стаканах одинаковый, это условие задачи. Но в первом стакане уменьшилось количество чернил и его заменила вода. Откуда взялась эта вода? Из второго стакана. Но уровень жидкости в обоих стаканах по-прежнему одинаков, значит, место отлитой из второго стакана воды заняли чернила, перелитые из первого стакана Часть чернил и часть воды просто поменялись местами, и уровень не изменился. Значит, это были одинаковые части, и теперь в первом стакане столько же воды, сколько чернил во втором.

Краткая и ясная мысль. Спасибо)

[e2e4]

Цитата:

В голове не укладывается, как в серьёзной книжке мог быть допущен такой прокол...

Вся глупость и вся мудрость человеческой цивилизации сосредоточена в основном в книгах. Главное - отделить одно от другого. Ошибки случаются сплошь и рядом.

Цитата:

Кстати, а может ли от плотности веществ что-то зависеть?

А вот Вы это и решите. Ясно, что если мы будем брать одинаковые массы растворов (при разных плотностях), то равенства объемов в конце опыта не будет.

Я бы в качестве истинной меры принял бы кол-во вещества, т.е. кол-во молекул. Отсюда можно дотошно начать решать эту задачу, если интересно.

[Edmonton]

e2e4 в сообщении #453999 писал(а):

Я бы в качестве истинной меры принял бы кол-во вещества, т.е. кол-во молекул. Отсюда можно дотошно начать решать эту задачу, если интересно.

Плотность вина отличается от плотности воды, вот только не понятно, в какую сторону. Всё-таки вина бывают совершенно разные. Вот если бы про нефть шла речь, а ещё лучше про ртуть, было бы значительно проще :)
А с количеством молекул, вроде бы, при примерно равных плотностях и равных объёмах будет та же ситуация с примерным равенством.
Будем считать, что ошибка в книге)
Спасибо за помощь :)