Помогите с неравенством

[Curiousguy]

Докажите, что

$\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+8ac}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\geqslant1$

Где а, b, c есть положительные вещественные числа

[Curiousguy]

Жестко сложно что ли? Хотя бы идею подкиньте

[mihailm]

совсем не уверен но это кажется ММО (международная) 10-15 летней давности

[Curiousguy]

mihailm в сообщении #453882 писал(а):

совсем не уверен но это кажется ММО (международная) 10-15 летней давности

Не знаю откудыва, но мне нужно решение )

[mserg]

Пусть $a$ – максимальное из чисел. Сделайте подстановку $b=pa$, $c=qa$. Далее обратите на возможный диапазон переменных $p$ и $q$.

[мат-ламер]

Альтернативный подход. Для упрощения ввести новые переменные. Допустим первый член обозначить через $1/X$. Второй - через $1/Y$. Третий через $1/Z$. Дальше возникает естестенное неравенство для $X^2+Y^2+Z^2$. В результате получается простая экстремальная задача с одним ограничением.

[nnosipov]

mihailm в сообщении #453882 писал(а):

совсем не уверен но это кажется ММО (международная) 10-15 летней давности

42nd International Mathematical Olympiad, 2001, problem 2. Просто вбиваем в гугл.

[Curiousguy]

мат-ламер в сообщении #453935 писал(а):

Альтернативный подход. Для упрощения ввести новые переменные. Допустим первый член обозначить через $1/X$. Второй - через $1/Y$. Третий через $1/Z$. Дальше возникает естестенное неравенство для $X^2+Y^2+Z^2$. В результате получается простая экстремальная задача с одним ограничением.

Идея хорошая, но не хотелось бы привлекать сюда всю мощь мат. анализа. Было бы неплохо решить в рамках школьных програм

[MrDindows]

Curiousguy в сообщении #453962 писал(а):

мат-ламер в сообщении #453935 писал(а):

Альтернативный подход. Для упрощения ввести новые переменные. Допустим первый член обозначить через $1/X$. Второй - через $1/Y$. Третий через $1/Z$. Дальше возникает естестенное неравенство для $X^2+Y^2+Z^2$. В результате получается простая экстремальная задача с одним ограничением.

Идея хорошая, но не хотелось бы привлекать сюда всю мощь мат. анализа. Было бы неплохо решить в рамках школьных програм

http://nms.lu.lv/arhiivs/pasol/imo2001.pdf

[Curiousguy]

MrDindows в сообщении #453965 писал(а):

http://nms.lu.lv/arhiivs/pasol/imo2001.pdf

AM-GM это арифметическое и геометрическое среднее? Если да, то не понимаю откуда взялся степень 4/3... ((

[arqady]

Curiousguy в сообщении #453501 писал(а):

Докажите, что

$\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+8ac}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\geqslant1$

Где а, b, c есть положительные вещественные числа

Поскольку наше неравенство однородно, то можно считать, что $a+b+c=1$.
Функция $f(x)=\frac{1}{\sqrt x}$, очевидно, выпукла на своей области определения.
Тогда согласно неравенству Йенсена $\sum\limits_{cyc}\left(a\cdot\frac{1}{\sqrt{a^2+8bc}}\right)\geq\frac{1}{\sqrt{\sum\limits_{cyc}a(a^2+8bc)}}=\frac{1}{\sqrt{a^3+b^3+c^3+24abc}}$.
То бишь остаётся доказать, что $1\geq a^3+b^3+c^3+24abc$ или
$(a+b+c)^3\geq a^3+b^3+c^3+24abc$, что после раскрытия скобок приводится к очевидному:
$\sum\limits_{cyc}c(a-b)^2\geq0$.
Можно ещё так:
Согласно неравенству Гёльдера получаем:
$\left(\sum\limits_{cyc}\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}\right)^2\sum\limits_{cyc}a(a^2+8bc)\geq(a+b+c)^3$.
Поэтому остаётся доказать, что $(a+b+c)^3\geq a^3+b^3+c^3+24abc$, а это уже было.

[Curiousguy]

arqady в сообщении #454230 писал(а):

Curiousguy в сообщении #453501 писал(а):

Докажите, что

$\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+8ac}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\geqslant1$

Где а, b, c есть положительные вещественные числа

Поскольку наше неравенство однородно, то можно считать, что $a+b+c=1$.
Функция $f(x)=\frac{1}{\sqrt x}$, очевидно, выпукла на своей области определения.
Тогда согласно неравенству Йенсена $\sum\limits_{cyc}\left(a\cdot\frac{1}{\sqrt{a^2+8bc}}\right)\geq\frac{1}{\sqrt{\sum\limits_{cyc}a(a^2+8bc)}}=\frac{1}{\sqrt{a^3+b^3+c^3+24abc}}$.
То бишь остаётся доказать, что $1\geq a^3+b^3+c^3+24abc$ или
$(a+b+c)^3\geq a^3+b^3+c^3+24abc$, что после раскрытия скобок приводится к очевидному:
$\sum\limits_{cyc}c(a-b)^2\geq0$.
Можно ещё так:
Согласно неравенству Гёльдера получаем:
$\left(\sum\limits_{cyc}\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}\right)^2\sum\limits_{cyc}a(a^2+8bc)\geq(a+b+c)^3$.
Поэтому остаётся доказать, что $(a+b+c)^3\geq a^3+b^3+c^3+24abc$, а это уже было.

Классное решение, но мне не понятно про однородность. Можете ли Вы объяснить почему можно считать a+b+c=1 ?

[Joker_vD]

Curiousguy в сообщении #454357 писал(а):

Классное решение, но мне не понятно про однородность. Можете ли Вы объяснить почему можно считать a+b+c=1 ?

Пусть $a+b+c=\lambda$. Обозначим $a' = \frac1\lambda a$, $b' = \frac1\lambda b$, $c' = \frac1\lambda c$ и подставим в левую часть неравенства — лямбды вынесутся и сократятся. А $a'+b'+c'=1$.

[arqady]

Curiousguy в сообщении #454357 писал(а):

Можете ли Вы объяснить почему можно считать a+b+c=1 ?

Пусть $a=kx$, $b=ky$ и $c=kz$, где $k>0$ и $x+y+z=1$.
Тогда $\sum\limits_{cyc}\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}\geq1\Leftrightarrow\sum\limits_{cyc}\frac{x}{\sqrt{x^2+8yz}}\geq1$.
Теперь заменяем обратно $x$ на $a$, $y$ на $b$ и $z$ на $c$...
Собственно Joker_vD уже объяснил.

(Оффтоп)

Как восстановить у Joker_vD его синеву?

[Joker_vD]

(Оффтоп)

arqady
С помощью

[b][color=#3333FF]Ник ЗУ[/color][/b]