Изображение оригинала

[Ylyasha]

Задан оригинал

$$f(t) = e^t \sin 2t\cos 3t.$$

. Нахожу изображение заданного оригинала.

$$\begin{gathered} L(e^t ) = \frac{1} {{p - 1}}; \h\varphill \\ L(\sin 2t) = \frac{2} {{p^2 + 4}}; \h\varphill \\ L(\cos 3t) = \frac{p} {{p^2 + 9}}; \h\varphill \\ \end{gathered} $$

$$F(p) = \int\limits_0^\infty {\left( {\frac{1} {{p - 1}} \cdot \frac{2} {{p^2 + 4}} \cdot \frac{p} {{p^2 + 9}}} \right)} dp$$

Получается какой-то страшный интеграл. Стоит ли продолжать или где-то я сделала ошибку?

[Tlalok]

Зачем так сложно. Представьте произведение тригонометрических функций в виде суммы. И не надо никакого интеграла, ни страшного, ни красивого.


Я так понимаю, Вы хотели воспользоваться теоремой о свёртке?

[Ylyasha]

Получается следующее,

$$\begin{gathered} \sin 2t \cdot \cos 3t = \frac{{\sin 5t - \sin t}} {2}; \h\varphill \\ F(p) = \frac{{e^t }} {2} \cdot \left( {\sin 5t - \sin t} \right) = \frac{1} {2} \cdot \frac{1} {{p - 1}} \cdot \left( {\frac{5} {{p^2 + 25}} - \frac{1} {{p^2 + 1}}} \right) \h\varphill \\ \end{gathered} $$

[Tlalok]

Ylyasha,
Изображение произведения НЕ РАВНО произведению изображений.

[Ylyasha]

Так все-таки через интеграл(через замену на u и dv)?

[Tlalok]

Ylyasha в сообщении #453240 писал(а):

$ f(t) = \dfrac{{e^t }}{2} \cdot ({\sin 5t - \sin t})$

Я позволил себе несколько исправить Вашу запись. Теперь Вам нужно раскрыть скобки и вспомнить теорему смещения в аргументе изображения.

[Ylyasha]

Теорему смещения изображения я нашла $\[f(t)e^{ - \alpha t} \mathop = \limits_ \bullet ^ \bullet F(p + \alpha )\]$. А как применить данную теорему?

[Tlalok]

Вы скобки раскрыли?

[Ylyasha]

$$f(t) = \frac{{e^t }} {2} \cdot \sin 5t - \frac{{e^t }} {2} \cdot \sin t$$

[Tlalok]

Появились идеи?

[Ylyasha]

Что-то я запуталась.

[Tlalok]

Воспользуйтесь свойствами:
$C \cdot f\left( t \right) \risingdotseq C \cdot F\left( p \right)$
${e^{at}} \cdot f\left( t \right) \risingdotseq F\left( {p - a} \right)$
$f\left( t \right) \pm g\left( t \right)\risingdotseq F\left( p \right) \pm G\left( p \right)$

[Ylyasha]

А если так

$$\begin{gathered} e^{\alpha t} \cdot \sin \beta t = \frac{\beta } {{(p - \alpha )^2 + \beta ^2 }}; \h\varphill \\ \frac{{e^t }} {2} \cdot \sin 5t = \frac{1} {2} \cdot \frac{5} {{(p - 1)^2 + 25}}; \h\varphill \\ \frac{{e^t }} {2} \cdot \sin t = \frac{1} {2} \cdot \frac{1} {{(p - 1)^2 + 1}}; \h\varphill \\ \end{gathered} $$

Либо так нельзя?

[Tlalok]

Только так и можно!
Остался последний штрих.

[Ylyasha]

Что за штрих, не понимаю. Сложить осталось.