Легкая задача: вычисление площадь

[myra_panama]

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y=0 и , $y=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\sin^{2n}x+\cos^{2n}x},$ на отрезке , длинной в период.

[Sonic86]

$y$ имеет период $\frac{\pi}{2}$, $x \leq \frac{\pi}{4} \Rightarrow y = \cos ^2 x$, $\frac{\pi}{4} < x< \frac{\pi}{2} \Rightarrow y = \sin ^2 x$. Дальше понятно.

[myra_panama]

Sonic86 в сообщении #453170 писал(а):

$y$ имеет период $\frac{\pi}{2}$

по моему $y_n(x)$ , при фиксированном n имеет период $T=\pi$.
при $n\to\infty$ и $0<x<\frac{\pi}4$ , $\tg^{2n}x\to 0$
при $n\to\infty$ и $\frac{\pi}4<x<\frac{\pi}2$ , $\ctg^{2n}x\to 0$.
Следовательно ваше

Sonic86 в сообщении #453170 писал(а):

$x \leq \frac{\pi}{4} \Rightarrow y = \cos ^2 x$, $\frac{\pi}{4} < x< \frac{\pi}{2} \Rightarrow y = \sin ^2 x$

и площадь равно:
$S=2(\int\limits_{0}^{\frac{\pi}4}\cos^{2}xdx+\int\limits_{\frac{\pi}4}^{\frac{\pi}2}\sin^2xdx)=\frac{\pi}2+1$