Трактовка задачи по ТФКП

[Alfucio]

Здравствуйте!

Решаю задачу № 1.178 из Сборника задача по теории функций комплексного переменного (Волковыский Л. И., Лунц Г. Л., Араманович И. Г. Сборник задач по теории функций комплексного переменного. — 4-е изд., перераб. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.):
В задаче выяснить, существует ли гармоническая функция указанного вида (отличная от постоянной), и в случае существования найти ее:
$\rho = {e^{{r^2}\cos 2\varphi }}$

Задачу 1.177 ($\rho = \left( {{x^2} + {y^2}} \right){e^x}$) и 1.179 ($\theta = xy$) успешно решил, а вот в 1.178 не могу понять, что подразумевается под $r$ и $\varphi$.

Подскажите, пожалуйста.

[Полосин]

$z=r e^{i\varphi}$, $w=\rho e^{i\theta}.

[Alfucio]

И получается, что $w = f(z)$? Тогда все понятно :).

Если можно, подскажите еще, пожалуйста:
1) Данную задачу, насколько я теперь понимаю, также можно решить через «связь модуля и аргумента дифференцируемой комплексной функции» (Википедия):

$$\frac{\partial R}{\partial x} = R \frac{\partial \Phi}{\partial y};\quad\frac{\partial R}{\partial y} = - R \frac{\partial \Phi}{\partial x}$$

(мы его выводили на семинаре, и я его успешно использовал для решения задач №№ 1.177 и 1.179).
Здесь, насколько я понимаю, можно также использовать его, ведь
$\[{r^2} = {x^2} + {y^2},\cos 2\varphi = \cos \left( {2\left( {\arctg \left( {\frac{y}{x}} \right) + \pi k} \right)} \right) = \frac{1}{{\sqrt {1 + \frac{{{y^2}}}{{{x^2}}}} }}\]$, где $\[k \in \{ - 1;0;1\} \]$.
Но получаются громоздкие формулы. Можно ли как-то проще решить данную задачу?
2) В задаче сказано, что нужно еще и доказать существовании функции. Подскажите, пожалуйста, как это сделать?
3) В задаче № 1.180 известно только то, что $\[\theta = \varphi + r\sin \varphi \]$. Здесь уже нельзя просто написать, что $\[\varphi = \arctg\left( {\frac{y}{x}} \right) + \pi k\]$, так как $\[\pi k\]$ не сократятся. Подскажите, пожалуйста, как разумнее поступить здесь?
4) В задаче 1.161 (пункт а) требуется, пользуясь формулами задачи 1.153 (см. ниже сообщение) найти функции, сопряженные с данными гармоническими функциями в указанных областях:
$\[u(x,y) = \frac{1}{2}\ln \left( {{x^2} + {y^2}} \right)\]$
а) в области, полученной из плоскости удалением полуоси $\[y = 0, - \infty < x \le 0\]$,
б) в плоскости с выколотым началом координат: $\[0 < \left| z \right| < \infty \]$.

В 1.153 доказывается, что если область G многосвязна и ограничена внешним контуром $\[{\Gamma _0}\]$ и внутренними контурами $\[{\Gamma _1},{\Gamma _2},...,{\Gamma _n}\]$ (каждый из которых может вырождаться в точку), то функция $\[v(x,y)\]$ может оказаться многозначной и общая формула для ее значений будет иметь вид
$\[v(x,y) = \int\limits_{({x_0},{y_{0)}}}^{(x,y)} { - \frac{{\partial u}}{{\partial y}}dx + } \frac{{\partial u}}{{\partial x}}dy + \sum\limits_{k = 1}^n {{m_k}{\pi _k} + C} \]$


(рисунок из задачника)

Интеграл берется по пути, лежащему в области G, $\[{m_k}\]$ — целые числа и
$\[{\pi _k} = \int\limits_{{\gamma _k}} { - \frac{{\partial u}}{{\partial y}}dx + \frac{{\partial u}}{{\partial x}}dy} \]$,
где $\gamma_k$ — простые замкнутые контуры, каждый из которых содержит внутри себя одну связную часть границы ($\[{\Gamma _k}\]$).

Но как тогда в пункте а) взять интеграл по замкнутому контуру, ведь нельзя придумать такой замкнутый контур, чтобы внутри себя он содержал одну связную часть границы, а именно полуось $\[y = 0, - \infty < x \le 0\]$?
5) Подскажите, пожалуйста, как можно получить условие Коши-Римана в полярных координатах:

$$\frac{\partial u}{\partial r} = \frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial \varphi};\quad \frac{\partial u}{\partial \varphi} = -r \frac{\partial v}{\partial r}.$$

Заранее спасибо!

[Полосин]

1) Воспользуйтесь условиями Коши-Римана в полярных координатах.
2) Просто получите решение задачи в явном виде.
3) См. 1).
4) Случай многосвязной области здесь ни при чем. Просто проинтегрируйте уравнения Коши-Римана. Есть и более продвинутый способ: угадать функцию. Найдите вещественную часть от $\ln z$. Вспомните, в каких областях аналитичен логарифм от комплексного переменного.
5) Вспомнить раздел "Дифференцирование сложной функции, зависящей от нескольких переменных". $u_r=u_xx_r+u_yy_r$, и т.д.

[Alfucio]

Полосин в сообщении #453171 писал(а):

1) Воспользуйтесь условиями Коши-Римана в полярных координатах.

Вы имеете в виду
$\frac{\partial u}{\partial r} = \frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial \varphi};\quad \frac{\partial u}{\partial \varphi} = -r \frac{\partial v}{\partial r}$ (условие Коши-Римана в полярных координатах)
или
$\frac{\partial R}{\partial x} = R \frac{\partial \Phi}{\partial y};\quad\frac{\partial R}{\partial y} = - R \frac{\partial \Phi}{\partial x}$ (связь модуля и аргумента дифференцируемой комплексной функции)?

Если первое, то я, к сожалению, не совсем понимаю, как его здесь можно использовать. Если второе, то это как раз тот вариант, который я предлагал использовать, но, подскажите, пожалуйста, нет ли более легкого, ведь там получаются достаточно сложные производные и нужно брать по ним интегралы (это и буду делать, конечно, но, может быть, есть способ проще)?

[Полосин]

Alfucio, не ленитесь.
$w=u+iv=\rho (r,\varphi )e^{i\theta (r,\varphi)}$,
$r u_r=v_{\varphi}$, $u_{\varphi}=-r v_r$.
Уравнения получатся не такие уж сложные:
$r\theta_r\sin\theta+\theta_{\varphi}\cos\theta=2r^2\cos(2\varphi-\theta)$,
$ r \theta_r \cos\theta -\theta_{\varphi} \sin\theta = 2r^2 \sin(2\varphi-\theta)$.
Получите их, решите их, и будет вам счастье.
Более быстрый путь - сообразить, что $ r^2 \cos(2\varphi)=Re\, (z^2)$.

[Alfucio]

Полосин в сообщении #453208 писал(а):

Alfucio, не ленитесь...

Извините, пожалуйста, я просто делал совсем сложно, а до того, что Вы как раз и написали, я не догадывался. Я хотел представить $\rho$ как $\rho = {e^{\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \cdot \cos \left( {2\arctg \left( {\frac{y}{x}} \right)} \right)}}$, а затем использовать связь модуля и аргумента дифференцируемой комплексной функции:
$\frac{\partial R}{\partial x} = R \frac{\partial \Phi}{\partial y};\quad\frac{\partial R}{\partial y} = - R \frac{\partial \Phi}{\partial x}$
То есть получится очень сложные производные, непонятно, как брать получившиеся интегралы (и я вообще не уверен до конца, что я правильно рассуждаю, что и так можно делать).

То есть я просто не понял, как Вы предлагали. Сейчас же до меня все дошло, но только у меня получилась немного другая система, чем у Вас:

$$\[\left\{ \begin{array}{l} r\theta _r^{}\sin \theta - \theta _\varphi ^{}\cos \theta = 2{r^2}\left( {\sin \theta \sin \varphi + \cos \theta } \right)\\ r\theta _r^{}\cos \theta - \theta _\varphi ^{}\sin \theta = 2{r^2}\left( {\sin \theta \cos \varphi - \sin \theta } \right) \end{array} \right.\]$$

То есть не совсем понимаю, как получается $\[\cos \left( {2\varphi - \theta } \right),\sin \left( {2\varphi - \theta } \right)\]$. Но получившаяся система у меня решилась просто, и я пришел к верному ответу.

Действительно, если подметить, что $\[{r^2}\cos 2\varphi = {\mathop{\rm \operatorname{Re}}\nolimits} \left( {{z^2}} \right)\]$, то получается проще.

И 1.180 успешно теперь решилось.

И условие Коши-Римана в полярных координатах получилось :).

Спасибо Вам большое!