Устойчивость нулевого решения

[Samir]

Разбираю доказательства теорем по теме "Устойчивость решений СтЛВУ". Наткнулся на понятие устойчивости нулевого решение. Как это понимать? И почему часто именно для нулевых решений доказывается устойчивость?

[Gortaur]

Так, пусть есть система $\dot{x} = f(x)$, при начальных координатах $x(0) = x_0$ существует решение, скажем $x(t)$. Т.к. скажем, в физике законы развития системы аналитические, а измерения - неточные, то мы хотим знать, изменится ли наше решение, если мы ошибочно померяли начальные условия.

То есть берем $x(0) = x_1 = x_0+\delta$ и получаем решение $x^*{t}$. Тогда мы хотим от системы, чтобы $|x(t) - x^*(t)|$ было мало для любых $0\leq t<\infty$. Это называется устойчивость решения $x(t)$.

Более того, если $x(t)-x^*(t)\to 0$ при $t\to\infty$, то такая устойчивость называется асимптотической.

Теперь насчет нулевого решения. Дело в том, что особый интерес представляет устойчивость точек равновесия - то есть постоянного решения, $x(t)\equiv x_0$. Ясно, что простой заменой любое такое решени можно сделать нулевым (взять $f^*(x) = f(x-x_0)$).

Если же система неавтономна, то есть $f = f(x,t)$, то можно той же заменой $g(x,t) = f(x-x(t),t)$ привести систему к системе с нулевым решением независимо от того, является ли $x(t)$ равновесием или просто функцией от времени.

[Samir]

Спасибо большое. Вы мне помогли