Длина кардиоиды

[Sintanial]

Дана кардиоида в полярной с.к.
$r=2-2\sin \varphi $
Необходимо найти длину этой кривой.
Длина находится через такую формулу $s=\int \limits_0^{2\pi} \sqrt{r^2+r'_{\varphi}^2}d\varphi $
$r'_{\varphi}=-2\cos \varphi $

Получаем
$s=\int \limits_0^{2\pi} \sqrt{(2-2\sin \varphi)^2+(-2\cos \varphi)^2}d\varphi =2 \int \limits_0^{2\pi} \sqrt{2-2\sin \varphi}d\varphi=2\sqrt{2} \int \limits_0^{2\pi} \sqrt{1-\sin \varphi}d\varphi$
Делаем замену $t=1-\sin \varphi ; d\varphi=-\dfrac{1}{\sqrt{2t-t^2}}dt$
тогда получаем
$2\sqrt{2} \int \limits_0^{2\pi} \sqrt{1-\sin \varphi}d\varphi=2\sqrt{2} \int \limits_0^{2\pi} \dfrac{-\sqrt{t}}{\sqrt{2t-t^2}}dt=2\sqrt{2} \int \limits_0^{2\pi} \dfrac{-1}{\sqrt{2-t}}dt=4\sqrt{2} \sqrt{2-t}|_0^{2\pi}=4\sqrt{2}\sqrt{1+\sin\varphi}|_0^{2\pi}=0$
Чего быть не может..... при том вольфрамальфа говорит что такой интеграл равен 8 =)

Подскажите где ошибка

[ИСН]

Ну Вы же понимаете, что интеграл от строго положительной функции - никак не 0?
Ошибка где-то в этой противоестественной замене. Надо было вообще не так. Скажите, чему равно $2+2\cos2x$?

[Praded]

Sintanial в сообщении #452587 писал(а):

Подскажите где ошибка

Пределы интегрирования проверьте.

[Sintanial]

всмысле чему ?
$2+2\cos 2\varphi=4\cos^2 \varphi$

[Praded]

Sintanial в сообщении #452587 писал(а):

Подскажите где ошибка

При такой замене вы интегрируете в пределах от 1 до 1. Ничего кроме 0 получиться даже теоретически не может.

[Sintanial]

да я как бы это уже давно понял..... я не понимаю во первых, почему не прошла замена, а во вторых, как решить по другому =) !?

-- Ср июн 01, 2011 15:23:07 --

Вольфрам говорит что посчитал я правильно

=)

[ИСН]

А я свой вопрос задал для того, чтобы Вы поняли, как было бы хорошо (корень извлекается нацело!), будь у Вас не синус, а косинус, не одного аргумента, а двух, и не минус, а плюс. Ну а там как-нибудь постепенно...

[Sintanial]

и как же вы мне предлагаете перейти от синуса к косинусу =)

[ИСН]

Ну как тут перейти? Никак не перейдёшь. Тут уж кому что на роду написано. Кому пироги да пышки, а нам синяки да шишки. Вон соседу повезло: у него кардиоида развёрнута на 90°, и уравнение получается с косинусом. А у нас, как всегда...

[Sintanial]

ок, я понял вас =) !

-- Ср июн 01, 2011 16:02:10 --

Странно получается
$\int \sqrt{2-2sin(\varphi)}}d\varphi=\int \sqrt{2+2\cos(\dfrac {\pi}{2}+\varphi)}d\varphi=\int \sqrt{4\cos^2 \dfrac {\frac{\pi}{2}+\varphi}{2}}=2\int \cos (\dfrac {\pi}{4}+\dfrac{\varphi}{2})$

получаем $4\sin(\frac {\pi}{4}+\frac {\varphi}{2})|_0^{2\pi}$ подставляя граници, вообще получаем отрицательное значение ! =)

да и значение не равно 8.....а вольфрам и мейпл показывают 8 !!!!!!!!

[Someone]

Дык, кто ж так корень квадратный извлекает... $\sqrt{a^2}=$?

P.S. А скобочки вокруг "высоких" выражений лучше писать как \left( и \right): $\cos\left(\frac{\pi}2+\varphi\right)$.

[master]

Sintanial
так она у вас не правильно лежит, поверните ее что ли, а дальше предел разумный взять и ноу проблем...