Помогите вычислить интеграл

[SSV]

ставится задача о вычислении:

$\int_{0}^{+\inf}{\frac {\ln(x^2+1)}{x^2+1}}dx$

Есть подозрение, что это можно в гамма функции преобразовать. Но замену придумать никак не могу, подскажите пожалуйста!

[myra_panama]

сделайте замену $x=\tg{t}$ , потом ......

-- Ср июн 01, 2011 08:45:00 --

а если заменим , $x=\frac1{t}$ , то получим
$$I=\int_{0}^{+\infty}{\frac {\ln(x^2+1)}{x^2+1}}dx=\int\limits_{0}^{\infty}\frac{\ln{(1+t^2)}-\ln{t^2}}{1+t^2}dt=I-2\int\limits_{0}^{\infty}\frac{\ln{t}}{1+t^2}dt$ $

[ИСН]

Ну это Вы нашли доказательство того, что $\int\limits_0^\infty{\ln t\over 1+t^2}dt=0$. Хорошо, но мало.

-- Ср, 2011-06-01, 11:55 --

Посмотрим на $F(a)=\int\limits_0^\infty{dx\over (1+x^2)^a}$. Она выражается через бету (то есть в конечном счёте через гамму - Вы же этого хотели?), а то, что мы искали в начале - это её производная в 1.