Текстовая задача (Мордкович, 9кл. 14.11)

[dnoskov]

Два пешехода вышли одновременно: первый - из пункта $A$ в $B$, второй - из пункта $B$ в $A$. Когда расстояние между ними сократилось в $6$ раз, из $B$ в $A$ выехал велосипедист. Первый пешеход встретился с ним в тот момент, когда второй прошёл $4 \over 9$ расстояния между $B$ и $A$. В пункт $A$ велосипедист и в пункт $B$ первый пешеход прибыли одновременно. Определите отношение скорости каждого пешехода к скорости велосипедиста, если их скорости постоянны.

Вводим переменные:
$v_1, v_2$ - скорости соответственно первого (из $A$ в $B$) и второго (из $B$ в $A$) пешеходов
$u$ - скорость велосипедиста
$s=AB$ - начальное расстояние между пешеходами

Расстояние сократилось в 6 раз, значит стало $\frac{s}{6}$, поэтому вместе оба пешехода прошли расстояние $\frac{5s}{6}$, затратив на это время $\frac{5s}{6(v_1+v_2)}$
Второй пешеход прошёл расстояние $\frac{4s}{9}$ за время $\frac{4s}{9v_2}$
За это время первый пешеход прошёл $\frac{4sv_1}{9v_2}$
До встречи с первым пешеходом велосипедист находился в пути в течение времени $\frac{4s}{9v_2}-\frac{5s}{6(v_1+v_2)}$
За это время он проехал расстояние $\frac{4su}{9v_2}-\frac{5su}{6(v_1+v_2)}$ и встретил первого пешехода.
Значит вместе они (первый пешеход и велосипедист) прошли к этому времени расстояние $s$, получаем:
$\frac{4su}{9v_2}-\frac{5su}{6(v_1+v_2)}+\frac{4sv_1}{9v_2}=s \quad |:s$, т.к. по смыслу задачи $s>0$
Получаем первое уравнение: $\frac{4(u+v_1)}{9v_2}-\frac{5u}{6(v_1+v_2)}=1 \quad (1)$

$\frac{s}{v_1}$ - время, за которое первый пешеход прошёл $AB$
$\frac{s}{u}$ - время, за которое $AB$ проехал велосипедист.
По условию: $\frac{s}{v_1}=\frac{s}{u}+\frac{5s}{6(v_1+v_2)} \quad |:s$
Получаем второе уравнение: $\frac{1}{v_1}=\frac{1}{u}+\frac{5}{6(v_1+v_2)} \quad (2)$, и, соответственно, систему:

$$\begin{cases} \frac{4(v_1+u)}{9v_2}-\frac{5u}{6(v_1+v_2)}=1 & (1)\\ \frac{1}{v_1}=\frac{1}{u}+\frac{5}{6(v_1+v_2)} & (2) \end{cases}$$

Поработаем с моделькой:
$(2) \Leftrightarrow \frac{5u}{6(v_1+v_2)}=\frac{u-v_1}{v_1} \\ \left( 1 \right) \mathop \Leftrightarrow \limits^{\left( 2 \right)} \frac{4(v_1+u)}{9v_2}-\frac{u-v_1}{v_1}=1 \quad |\times 9v_1v_2 \Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow 4v_1^2+4uv_1-9uv_2=0 \quad |:u^2 \quad \Leftrightarrow 4\left(\frac{v_1^2}{u^2}+\frac{v_1}{u}\right)=9\frac{v_2}{u}$
$(2) \Leftrightarrow \frac{v_1}{u-v_1}=\frac{6}{5}\left(\frac{v_1}{u}+\frac{v_2}{u}\right) \; \Leftrightarrow \; \frac{6}{5}\left(\frac{u}{v_1}-\frac{v_1}{u}-\frac{v_2}{u}\right)=1 \quad |\times \frac{5v_1}{u} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow 6\left(1-\frac{v_1^2}{u^2}-\frac{v_1v_2}{u^2}\right)=\frac{5v_1}{u}$
Пусть теперь $a=\frac{v_1}{u}$, $b=\frac{v_2}{u}$, тогда:

$$\begin{cases} 4(a^2+a)=9b \\ 6\left(1-a^2-ab\right)=5a \end{cases}$$

Это система уравнений от переменных, являющихся искомыми величинами (т.е. отношениями скоростей). Решая эту систему приходим к двум уравнениям третьей степени, которые к тому же, видимо, не имеют красивых решений:

$$\begin{cases} 8a^3+26a^2+15a-18=0\\ (1+9b)(6b-11)^2=(1-21b)^2 \end{cases}$$

Внимание, вопрос: Что я делаю не так?

[Tlalok]

dnoskov в сообщении #452250 писал(а):

$(2) \Leftrightarrow \frac{v_1}{u-v_1}=\frac{6}{5}\left(\frac{v_1}{u}+\frac{v_2}{u}\right) \; \Leftrightarrow \; \frac{6}{5}\left(\frac{u}{v_1}-\frac{v_1}{u}-\frac{v_2}{u}\right)=1 $

Внимание, вопрос: Что я делаю не так?

У Вас здесь ошибка!

[dnoskov]

Tlalok в сообщении #452292 писал(а):

У Вас здесь ошибка!

Ой! И правда.

И система теперь вроде как решается!

Спасибо Вам!