Приведение к главным осям, диагональный вид

[dmitryf]

Не подскажите, чем приведение квадратичной формы к главным осям отличается от нахождения ее канонического вида (скажем методом Лагранжа). Кроме того что в первом случае еще находим и базис в котором форма имеет канонический(?) вид.

[ewert]

Базис мы в любом случае находим -- явно или неявно. Просто в первом случае этот базис ортогонален, а во втором -- как повезёт (и, скорее всего, нет)

[dmitryf]

Спасибо, а можно еще какие-нибудь преимущества ортогонального/ортонормированного базиса в этом случае?

[Полосин]

Преимущества зависят от того, что требуется. "Дешевый" способ - выделение полных квадратов, или метод Лагранжа, - позволяет быстро выяснить тип кривой/поверхности, но не сохраняет углы и расстояния. "Дорогой" способ, требующий нахождения собственных значений и собственных векторов, значительно более трудоемок (задача на с.з. - одна из основных задач вычислительной математики), но зато сохраняет углы и расстояния: эллипс остается эллипсом с теми же главными осями и т.п. За все приходится платить...

[ewert]

Да просто любое ортогональное преобразование (в любом смысле) -- выгоднее, чем неортогональное. Формулы проще выходят. Но за это, разумеется, приходится платить, ибо есть некий мистический закон сохранения сложности. Исключения бывают, но редко.