Разложение унитарной матрицы

[Anexroid]

Цитата:

Доказать, что любая унитарная матрица является произведением вещественной ортогональной и комплексной симметрической матриц

Думал, что это просто полярное разложение, доказывал исходя из этого. Получилось что нет, т.к в полярном разложении обе матрицы будут над полем комплексных чисел, а в данном случае - одна над полем вещественных, другая - над полем комплексных. Но, кажется, суть примерно такая же.

[ewert]

Anexroid в сообщении #451835 писал(а):

любая унитарная матрица является произведением вещественной ортогональной и комплексной симметрической матриц

Это вряд ли. Например, в $\mathbb C^2$ унитарная матрица имеет четыре независимых вещественных параметра: два -- на один из собственных векторов (комплексное отношение $z_1$ и $z_2$) и по одному на каждое из собственных чисел. Ортогональная матрица -- это один параметр (просто поворот, возможное отражение непринципиально). Эрмитова и одновременно унитарная матрица -- это комплексное отражение, определяется двумя вещественными параметрами (направление вектора отражения). Итого: 1+2 меньше, чем 4, не подогнать.

[Anexroid]

Ну, раз задание звучит как "доказать, что ..." то скорее всего так оно и есть)

[Anexroid]

ewert в сообщении #451901 писал(а):

Anexroid в сообщении #451835 писал(а):

любая унитарная матрица является произведением вещественной ортогональной и комплексной симметрической матриц

Это вряд ли. Например, в $\mathbb C^2$ унитарная матрица имеет четыре независимых вещественных параметра: два -- на один из собственных векторов (комплексное отношение $z_1$ и $z_2$) и по одному на каждое из собственных чисел. Ортогональная матрица -- это один параметр (просто поворот, возможное отражение непринципиально). Эрмитова и одновременно унитарная матрица -- это комплексное отражение, определяется двумя вещественными параметрами (направление вектора отражения). Итого: 1+2 меньше, чем 4, не подогнать.

Может это просто одно из разложений? И существует разложение, удовлетворяющее условию?

[ewert]

Anexroid в сообщении #455938 писал(а):

И существует разложение, удовлетворяющее условию?

Вообще говоря -- не существует: множество унитарных матриц не может совпадать или вкладываться в множество предполагаемых разложений, поскольку последнее описывается меньшим к-вом параметров, чем первое.

[Anexroid]

В итоге, я что-то не понял, каким будет контр-пример, что за параметры не совсем ясно

[мат-ламер]

Anexroid. Вы главное дерзайте. Я бы действовал по аналогии с полярным разложением.

[Anexroid]

Я попытался так сделать. Но в док-ве полярного разложения используется разложение сингулярное. И в данном случае мы его применть не можем.

[ewert]

Для унитарной матрицы что полярное, что сингулярное разложения тривиальны -- это просто сама исходная матрица.