Интеграл, дающий объем тела вращения

[Nerd]

Ограниченная область D в первом квадранте $x,y\geqslant 0$ имеет кусочно-гладкую границу. Доказать, что значение интеграла $2\pi \ointop xydy $ по границе области D равно объему тела, образованного вращением D вокруг одной из осей координат

Грубо говоря, я просто не понимаю эту задачу. Решение её, которое было у нас на семинарах не внесло ясности ни разу
хелп!

[Yu_K]

Формула очевидная. Разрезайте на прямоугольники прямыми параллельно оси координат, $xdy$ - элемент площади,
$2\pi yxdy$ - элемент объема (типа обручального кольца) получающийся при вращении этого элемента площади, и та часть где приращение ординаты отрицательно будет вычитаться из той где приращение ординаты положительно. Можно через предел конечных сумм доказать. Можно погуглить, варианты этой формулы здесь http://www.math24.ru/geometric-applications-of-line-integrals.html. И пример здесь на форуме есть http://dxdy.ru/topic45924.html.

[Nerd]

Очень интересно. А принципиально ли, вокруг какой оси происходит вращение - х или у? Вообще, у меня то-то в голове не укладываться все это, мда.