Асимптота функции

[oleg-spbu]

$$f(x)=x+\ln {(x^2-9)}$$

Ищем асимптоту в виде

$$y=kx+b$$

$$k=\lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{x+\ln {(x^2-9)}}{x}=\lim\limits_{n \to +\infty}\Big[1+\dfrac{\ln {(x^2-9)}}{x}\Big]=\Big [\text{Лопиталь}\Big]=\lim\limits_{n \to +\infty}\Big[1+\dfrac{2x}{x^2+9}\Big]=1$$

$$b=\lim\limits_{n \to +\infty}(x+\ln {(x^2-9)}-x)=\lim\limits_{n \to +\infty}\ln {(x^2-9)}=\infty$$

$$y=kx+b=x+\infty$$

Но, судя по графику, функция имеет асимптоту... Почему?

[alisa-lebovski]

Нету асимптоты. Это обман зрения.

[Dan B-Yallay]

alisa-lebovski в сообщении #450999 писал(а):

Нету асимптоты. Это обман зрения.

$$\begin{align*} f'(x)& =1+\dfrac{2x}{x^2-9} && x> 3 \\ \lim_{x \to \infty}f'(x)& =1 \end{align*}$$

[Алексей К.]

oleg-spbu в сообщении #450992 писал(а):

$$f(x)=x+\ln {(x^2-9)}$$

Не может $x+2\ln x$ иметь асимптоту! Как не может её иметь $\ln x$.

У Вас-то график $y=x$ нарисован!

Цитата:

$$k=\lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{x+\ln {(x^2-9)}}{x}=\lim\limits_{n \to +\infty}\Big[1+\dfrac{\ln {(x^2-9)}}{x}\Big]=\Big [\text{Лопиталь}\Big]=\lim\limits_{n \to +\infty}\Big[1+\dfrac{2x}{x^2+9}\Big]=1$$

Ошибок (опечаток) здесь не счесть!

[Dan B-Yallay]

Цитата:

У Вас-то график $y=x$ нарисован!

Там разрыв от -3 до 3. И график действительно выглядит так как у ТС. (Лопиталь конечно ни к чему, и в знаменателе как то плюс вместо минуса образовался.)

[oleg-spbu]

спасибо)
т.е. -- это действительно обман зрения?
Да, опечатался, признаю!

$$k=\lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{x+\ln {(x^2-9)}}{x}=\lim\limits_{n \to +\infty}\Big[1+\dfrac{\ln {(x^2-9)}}{x}\Big]=\Big [\text{Лопиталь}\Big]=\lim\limits_{n \to +\infty}\Big[1+\dfrac{2x}{x^2-9}\Big]=1$$

Похоже, что $y=x$ -- асимптота, если взять побольше диапазон, то это видно отчетливо..!
А как без Лопиталя обойтись?))

[Dan B-Yallay]

Лопиталь нужен там, где есть неопределенность $\dfrac 0 0, \dfrac {\infty}{\infty}... $, а у вас логарифм $x$ против $x$ .(Что в принципе то и есть $\dfrac {\infty}{\infty}$ )
Лог всяко медленнее растет. Ну то есть можно и Лопиталем конечно...()

[oleg-spbu]

Dan B-Yallay в сообщении #451016 писал(а):

Лопиталь нужен там, где есть неопределенность $\dfrac 0 0, \dfrac {\infty}{\infty}... $, а у вас логарифм $x$ против $x$ .
Лог всяко медленнее растет. Ну то есть можно и Лопиталем конечно...

Это да=)
Но есть ли асимптота или нет -- я так и не понял)

-- Сб май 28, 2011 01:11:05 --

Алексей К. в сообщении #451003 писал(а):

Цитата:

$$k=\lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{x+\ln {(x^2-9)}}{x}=\lim\limits_{n \to +\infty}\Big[1+\dfrac{\ln {(x^2-9)}}{x}\Big]=\Big [\text{Лопиталь}\Big]=\lim\limits_{n \to +\infty}\Big[1+\dfrac{2x}{x^2+9}\Big]=1$$

Ошибок (опечаток) здесь не счесть!

По моим оценкам -- здесь около одной опечатки=)

[Dan B-Yallay]

Нет там асимптоты. Просто когда увеличиваете масштаб, график кажется все прямее и прямее.

Цитата:

Обман зрения.

[oleg-spbu]

Dan B-Yallay в сообщении #451025 писал(а):

Нет там асимптоты. Просто когда увеличиваете масштаб, график кажется все прямее и прямее.

Цитата:

Обман зрения.

Ничего себе, я даже линейку приложил к монитору, линейка не обманула=)

Интересная, функция, однако=)

А есть ли еще такие, кроме этой серии?!

$$f(x)=\alpha\cdot x+\ln {(P_n(x))}$$

,

$$\alpha\ne 0$$

?

$$P_n(x)-\text{полином степени n}$$

[Dan B-Yallay]

Попробуйте нарисовать график $\dfrac {\ln x}{10000}$. Ясно, что асимптоты нет, но на графике очень даже...
Даже с приложенной линейкой.

[oleg-spbu]

Dan B-Yallay в сообщении #451029 писал(а):

Попробуйте нарисовать график $\dfrac {\ln x}{10000}$. Ясно, что асимптоты нет, но на графике очень даже...
Даже с приложенной линейкой.

Нарисовал) Вы, скорее всего, имеете ввиду наклонную асимптоту, но я ее не вижу, даже при масштабе мульён миллион=)

[Dan B-Yallay]

Нет, я имел в виду $y=\dfrac {\ln x}{1000} \quad \sim \quad y=0$. (на мониторе, Как ни удаляй - все равно сливаются. )
То же самое с асимптотой.

[oleg-spbu]

Dan B-Yallay в сообщении #451032 писал(а):

Нет, я имел в виду $y=\dfrac {\ln x}{1000} \quad \sim \quad y=0$. (на мониторе.)
То же самое с асимптотой.

Все равно не понял, вот график) Вот вертикальную асимптоту -- вижу $x=0$

(Оффтоп)

здесь была не та картинка!

[Dan B-Yallay]

$$\ln\Big( \dfrac x {10000}\Big) \ne \dfrac {\ln x}{10000}$$