Доказательство существования предела

[lega4]

В книжке говорят, что это очевидно, я, наверное туплю, но мне не очевидно (т.е. не знаю, как доказать).
1. Если функция монотонна, ограничена и непрерывна на интервале => у нее существует конечный предел на концах интервала.
2. Если функция монотонна на бесконечности, то у нее обязательно существует конечный или бесконечный предел. (Альтернативно: если у непрерывной функции производная стремится на бесконечности к ненулевому числу => функция стремится к бесконечности)
Подскажите плз, от чего оттолкнуться...

[Полосин]

Изучите важные теоремы анализа: теорему о существовании точной верхней грани у ограниченного сверху множества и теорему о сходимости монотонной и ограниченной последовательности.

[lega4]

Знаю такие... Если бы в определении по Гейне были только монотонные последовательности, то было бы кул... А так непонятно...

[lega4]

Со вторым вопросом вроде разобрался, остался всем, кроме меня, очевидный первый...

[ewert]

lega4 в сообщении #450806 писал(а):

остался всем, кроме меня, очевидный первый...

Интересно. А Вы не в курсе, что монотонная функция всегда вообще имеет предел -- хоть какой-никакой, хоть конечный, хоть бесконечный?...

Если нет -- то немедленно входите в курс дела.

[Padawan]

lega4 в сообщении #450556 писал(а):

1. Если функция монотонна, ограничена и непрерывна на интервале => у нее существует конечный предел на концах интервала.

Непрерывность функции не нужна. Существенны монотонность и ограниченность. Два способа доказательства 1) Доказать по аналогии со случаем последовательностей 2) Проверить, что если в определении предела по Гейне брать только монотонные последовательности, то получится эквивалентное определение предела функции (одностороннего).