Неравенство с параметром

[NaOH]

Объясните, пожалуйста, почему в данной системе неравенств:
$ x^2 > a
ax - a^2 <= 0$

Рассматривается промежуток $0<a<=1$
Почему не только эти промежутки: $a<0$ , $a>0$ и $a=0$

[Виктор Викторов]

Во-первых, давайте подправим запись:
$ \begin{cases} x^2 > a\\ ax - a^2 \leq 0 \end{cases} $
при $0\leq a\leq 1$ А, во-вторых, расскажите кто Вам мешает рассматривать эту систему при любых значениях $a$?

[NaOH]

Виктор Викторов в сообщении #450279 писал(а):

Во-первых, давайте подправим запись:
$ \begin{cases} x^2 > a\\ ax - a^2 \leq 0 \end{cases} $
при $0\leq a\leq 1$ А, во-вторых, расскажите кто Вам мешает рассматривать эту систему при любых значениях $a$?

Просто я рассматривал случаи, когда $a=0 $ , $a<0$ и $a>0$
Чтобы проверить своё решение, я вбил систему в Wolframalpha, а там в решение рассматривается промежуток 0<a<=1
Почему ?

[Виктор Викторов]

Классический случай вредности компьютера. Вот и задайте вопрос Wolframalpha. А ещё лучше вместо «вбивания» системы в компьютер, решите её при всех значениях параметра сами.

[NaOH]

Виктор Викторов в сообщении #450382 писал(а):

Классический случай вредности компьютера. Вот и задайте вопрос Wolframalpha. А ещё лучше вместо «вбивания» системы в компьютер, решите её при всех значениях параметра сами.

Так я же сначала решил данную систему, а потом "вбил" в Wolframalpha для самопроверки, вот мои ответы:

$a<0$
$x \in [a;+\infty)$
$a=0$
$x \in (-\infty;0)\cup (0;+\infty)$
$a>0$
$x \in (-\infty;-sqrt(a))\cup (sqrt(a);a)$

Но мои ответы не сходятся с решением Wolframalpha, потому что там рассматривается промежуток $0<a<=1$. И мой вопрос заключается в том: Почему следует рассматривать промежуток $0<a<=1$, ведь этот промежуток подразумевает уже рассмотренный промежуток $a>0$.

[Виктор Викторов]

NaOH в сообщении #450401 писал(а):

$a>0$
$x \in (-\infty;-\sqrt a)\cup (\sqrt a; a)$

Здесь ошибка. Нужно рассматривать два случая. Сами догадайтесь какие. Рассмотрите $a=4$ и $a=\frac 1 4$

[NaOH]

Виктор Викторов в сообщении #450415 писал(а):

NaOH в сообщении #450401 писал(а):

$a>0$
$x \in (-\infty;-\sqrt a)\cup (\sqrt a; a)$

Здесь ошибка. Нужно рассматривать два случая. Сами догадайтесь какие. Рассмотрите $a=4$ и $a=\frac 1 4$

Пришёл к правильному ответу, спасибо.
То есть, чтобы впредь не допускать подобных ошибок, всегда стоит рассматривать промежуток $0<a<=1$ ?

[Виктор Викторов]

NaOH в сообщении #450470 писал(а):

То есть, чтобы впредь не допускать подобных ошибок, всегда стоит рассматривать промежуток $0<a<=1$ ?

Нет, конечно. Просто взаимное расположение $\sqrt a$ и $a$ зависят от значения $a$. При чем значение $a$, при котором это самое расположение меняется, как раз единица (меньше единицы -- $\sqrt a$ правее $a$, а больше единицы -- наоборот).