Расчет индуктивности короткой катушки

[rybak]

Катушка длинной $l$ и диаметром $d$ и катушку нельзя считать соленоидом, так как длина сравнима с диаметром. Количество витков равно $N$. Витки намотаны плотно (то есть диаметр провода = $\frac l N$)
Найти индуктивность катушки $L$.
Попытки решения:

Пустим по катушке ток $I$

$L = \frac {\Phi} {I} \Phi = N \Phi_1 \Phi_1 = BS S = \pi r^2 $

Где $\Phi$ - поток через всю катушку, $\Phi_1$ - поток через один виток,
S - площадь витка, $B$ - магнитное поле, создаваемое током.

[rybak]

Собственно вопрос:
Как считать $B$?

[mihiv]

Найдите поле,создаваемое одним витком,суммируя по всем виткам, получите полное поле в данной точке(понадобится только $B_z$).
Интегрируя по сечению катушки находите поток $\Phi _1$(он будет зависеть от $z$),снова суммируя по всем виткам, находите поток $\Phi $.

[profrotter]

Есть теоретическая формула для индуктивности. Во-первых индуктивность определяется как коэффициент, связывющий энергию магнитного поля постоянного тока с половиной квадрата силы тока:

$$W_m=\frac{1}{2}LI^2$$

(Ваш подход с магнитным потоком может быть применим только когда магнитное поле локализовано внутри соленоида)
Отсюда, с учётом выражения для энергии магнитного поля:

$$L=\frac{\mu\mu_0}{4\pi I^2}\int\limits_V\int\limits_V\frac{\overrightarrow{j}(\overrightarrow{r})\overrightarrow{j}(\overrightarrow{r'})}{|\overrightarrow{r}-\overrightarrow{r'}|}dvdv'$$

где \overrightarrow{j}(\overrightarrow{r}) - плотность тока, $V$ - область где расположены проводники с током, \overrightarrow{r} - радиус-вектор.
Подробнее см. Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн.
Использовать эту формулу будет занятием малоприятным.
На практике при рачёте индуктивности в вашем случае в формулу для индуктивности катушки вводят поправочные коэффициенты, которые определяются эмпирически и приводятся в справочниках по расчёту радиоэлектронной аппаратуры.
Подробнее см. Фрумкин Г.Д. Расчёт и конструирование радиоэлектронной аппаратуры.