треугольник с целыми сторонами, биссектрисами и площадью

[maxal]

Найти треугольник, у которого длины всех сторон и биссектрис, а также величина площади являются целыми числами:

а) равнобедренный;

б) разносторонний (не равнобедренный и не равносторонний).

[Sasha2]

Пока, видно следующее:
1) Если все стороны целые, то и косинусы вместе с синусами всех углов такого треуголника являются числами рациональными. То же самое и для углов равных половинам этих.

2) Следовательно и длины всех биссектрис любого трегольника, имеющего целы стороны, будут, по крайней мере, числами рациональными .

3) Значит указанный трегольник может быть получен из любого трегольника, имеющего целые стороны, посредством его опредленного растяжения или сжатия.

4) То есть взяв любые 3 целых числа, из которых сумма двух любых больше остального, и разность двух любых меньше остального, мы можем путем определенного сжатия или растяжения получить искомый треугольник.

5) Без ограничения общности, задачу можно начинать решать, считая, что у этих трех чисел нет общего делителя. Тогда может быть более корректно поставить вопрос о нахождении такого минимального коэффициента растяжения, при котором условия задачи будут удовлетворены.

[worm2]

У меня получилось найти следующие числа:
a = 486875
b = 334191
c = 272650
$b_a$ = 48048
$b_b$ = 272650
$b_c$ = 327180
S = 43736244552

[ИСН]

2 Sasha2: 1. Oh, really? С чего это синусы будут рациональными? (Косинусы-то понятно.) А половинные - тем более не будут.
2 worm2: респект. Далеко же пришлось лезть...

[worm2]

Sasha2 писал(а):

1) Если все стороны целые, то и косинусы вместе с синусами всех углов такого треуголника являются числами рациональными. То же самое и для углов равных половинам этих.

Насчёт углов треугольника --- согласен. А вот для их половин? Если рассмотреть прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5, то синус меньшего угла будет 3/5, а синус его половины --- $1/\sqrt{10}$.

[Руст]

Всё верно. Синусы рациональны из-за целости площади, синусы половин из-за целости биссектрисс (точнее вначале получаем рациональность косинусов половинных углов, а потом получаем рациональность синусов половинных углов).

[worm2]

ИСН писал(а):

2 worm2: респект. Далеко же пришлось лезть...

Спасибо! Идея была следующая:
1) Взять прямоугольный треугольник с рациональными сторонами (3, 4, 5).
2) Увеличив минимальный угол вдвое, получить другой прямоугольный треугольник (гипотенуза первого станет биссектрисой второго), т.о. синус половины одного из его углов, $\alpha$, рационален по построению (стороны второго треугольника будут также рациональны).
3) У этого второго треугольника взять второй угол $\beta$ (минимальный) и увеличить вчетверо. Построить треугольник на гипотенузе второго треугольника как на основании и углами $\alpha$, $4\beta$. У третьего треугольника синусы половин уже двух углов рациональны.
4) К счастью оказалось (хотя, наверное, это закономерность, которую я не уловил), что его две другие стороны также рациональны и синус половины третьего угла --- тоже.
5) Осталось "растянуть" треугольник, чтобы его стороны и биссектрисы из рациональных превратились в целые.

В общем мне повезло, т.к. я не обосновывал закономерности, которые оказались истинными.

[ИСН]

Руст, всё верно, так сказать, задним числом, а я имел в виду,

Sasha2 писал(а):

Пока, видно следующее:
1) Если все стороны целые, то и косинусы вместе с синусами всех углов такого треуголника являются числами рациональными. То же самое и для углов равных половинам этих.

что одной целости сторон - мало, и чтобы добиться чего-то хорошего, нужны пляски с бубном.

[Sasha2]

Да я вижу, что погорячился с одной лишь целостностью сторон. Помимо нее, еще нужно ког-что.

[worm2]

Оказывается, всё просто.
1) Возьмём два угла, меньших $\pi/4$, у которых и синусы и косинусы рациональны (их легко найти --- берём 2 прямоугольных треугольника с целыми сторонами и у каждого берём меньший угол). Углы берём одинаковые, если нам нужен равнобедренный треугольник и разные, если нужен разносторонний.
2) Затем удваиваем их и получаем два угла искомого треугольника. Синус и косинус половины третьего угла также будут рациональными. Тут, правда, мы можем получить равнобедренный треугольник, когда нам нужен разносторонний, если третий угол случайно окажется равным одному из двух других, но только если уж нам сильно не повезёт...
3) Осталось взять в качестве одной из сторон треугольника рациональное число и тогда все остальные стороны, биссектрисы и высоты будут рациональны.
4) Самая большая сложность --- это возиться с их вычислением и нахождением НОК их знаменателей, чтобы привести к целым числам.