цепные дроби

[NNDeaz]

Привет, копаясь на сайте wolfram alfa и введя там "e^x representations" я увидел раздел "Continued fraction representations".
Далее я увидел оператор $\mathop K\limits_{k = 1}^\infty $ и понял что он связан с непрерывными дробями.
К примеру:

$$\mathop K\limits_{k = 1}^\infty \frac{{{k^2}}}{2} = \frac{{{1^2}}}{{2 + \frac{{{2^2}}}{{2 + \frac{{{3^2}}}{{2 + \frac{{{4^2}}}{{2 + ...}}}}}}}}$$

или

$$\mathop K\limits_{k = 1}^\infty \frac{1}{{{k^3}}} = \frac{1}{{{1^2} + \frac{1}{{{2^2} + \frac{1}{{{3^2} + \frac{1}{{{4^2} + ...}}}}}}}}$$

Но разбираясь далее, я увидел:

$$\mathop K\limits_{k = 1}^\infty \frac{k}{k} = \frac{1}{{1 + \frac{2}{{2 + \frac{3}{{3 + \frac{4}{{4 + ...}}}}}}}}$$

и

$$\mathop K\limits_{k = 1}^\infty \frac{1}{1} = \frac{1}{{1 + \frac{1}{{1 + \frac{1}{{1 + \frac{1}{{1 + ...}}}}}}}}$$

Но ведь $\frac{k}{k} = \frac{1}{1}$
И получается что

$$\frac{1}{{1 + \frac{1}{{1 + \frac{1}{{1 + \frac{1}{{1 + ...}}}}}}}} = \frac{1}{{1 + \frac{2}{{2 + \frac{3}{{3 + \frac{4}{{4 + ...}}}}}}}}$$

Подобных примеров куча.
Почему в этом методе могут быть такие ошибки?

[Sonic86]

По-моему, просто обозначение кривое. $\mathop K\limits_{k = 1}^\infty $ должен быть функцией не от дроби $\frac{a}{b}$, а от пары $(a;b)$. Заодно нижнее $k=1$ тоже левое. Т.е. в стандартных обозначениях должно быть $K(a,b, + \infty)$ ($n$-ая частичная дробь будет $K(a,b, n)$ для $n \in \mathbb{N}$). Соответственно дальше проблем нету.
Либо $\frac{a}{b}$ понимается не как дробь, а именно как пара. Например, символ Лежандра: $\left( \frac{a}{b} \right)$. Понятно, что лучше так не делать.

З.Ы. Метода здесь нет. Или: в чем он?

[NNDeaz]

Sonic86 в сообщении #449194 писал(а):

По-моему, просто обозначение кривое. $\mathop K\limits_{k = 1}^\infty $ должен быть функцией не от дроби $\frac{a}{b}$, а от пары $(a;b)$. Заодно нижнее $k=1$ тоже левое. Т.е. в стандартных обозначениях должно быть $K(a,b, + \infty)$ ($n$-ая частичная дробь будет $K(a,b, n)$ для $n \in \mathbb{N}$). Соответственно дальше проблем нету.
Либо $\frac{a}{b}$ понимается не как дробь, а именно как пара. Например, символ Лежандра: $\left( \frac{a}{b} \right)$. Понятно, что лучше так не делать.

З.Ы. Метода здесь нет. Или: в чем он?

Ну с методом я тупанул
А что, лучше такой способ представления цепных дробей не использовать?
А то можно было бы похожий способ и к бесконечно вложенным радикалам применить:

$$\sqrt {{a_1} + {b_1}\sqrt {{a_2} + {b_2}\sqrt {{a_3} + {b_3}\sqrt {{a_4} + ...} } } } $$

[Sonic86]

NNDeaz писал(а):

А что, лучше такой способ представления цепных дробей не использовать?

Ну я имел ввиду не использовать только в том плане, чтобы не возникало таких непоняток.

NNDeaz писал(а):

А то можно было бы похожий способ и к бесконечно вложенным радикалам применить:

Можно $R(f(k),g(k), n)$ - типа того.

[nikim]

буква К - от немецкого"цепнаяДробь".
Дробь-это условно,почитайте Данилова=СМБ-1,М.,1961г.=он есть и в интернете.
В другой книжке предлагается рекурсивный способ записи:
$E_{k}=a_{k}+\dfrac{b_{k}}{E_{k+1}}$
он более понятен.напр.,
$\dfrac{\func{tg}\left( x\right) }{x}=E_{0};$ $E_{k}=2k+1-\dfrac{x^{2}}{E_{k+1}}$
всё очевидно...