сходимость непрерывность, замкнутое множ, период

[0n0]

Задачи:
1)Ряд от n=1 до $\infty$ . Общий член: $1-cos(\frac{\pi}{\sqrt{n}})$
Какой признак использовать?

2)Функция f определена всюду на вещественной прямой и непрерывна. Доказать, что для любого числа a
$E_a$={x|f(x)>=a} замкнуто.
Как использовать непрерывность?

[AKM]

Пожалуйста, исправьте написание формул: \infty, \pi: $\infty,\pi$.
Про суммы, например, здесь пишут.

Тема перемещена из "Помогите решить (М)" в карантин.
Как исправите - пишите сюда, чтобы тему вернули.

Возвращено...

[Gortaur]

1. - признак одновременный сходимости рядов, у которых общие члены эквивалентны на бесконечности, например,

$$ 1 - \cos{\frac{\pi}{\sqrt{n}}}\sim... $$

2. Рассмотрите $x_1,...,x_n,...$ такие, что $f(x_i)\geq a$ и cуществует $\lim\limits_{n}x_n = x$. Что можно тогда сказать про $f(x)$ используя непрерывность? Второй вариант - показать, что $C_a = \{x:f(x)>a\}$ - открыто.

[0n0]

Gortaur в сообщении #449152 писал(а):

2. Рассмотрите $x_1,...,x_n,...$ такие, что $f(x_i)\geq a$ и cуществует $\lim\limits_{n}x_n = x$. Что можно тогда сказать про $f(x)$ используя непрерывность? Второй вариант - показать, что $C_a = \{x:f(x)>a\}$ - открыто.

Мы выделили сходящуюся подпоследовательность->последовательность $x_1,...,x_n,...$ ограничена(Больцано-Вейерштрасс), а дальше непонятно.

[ewert]

Такие задачи в приличном опчестве принято решать по-деццки. В смысле опираясь на сугубо школьную тригонометрию. Чему равна единица минус косинус?... Дальше -- просто первый замечательный предел и второй (между прочим!) признак сравнения: тот, что насчёт эквивалентностей.