Имитационное моделирование(вероятность)

[Anton2010]

Добрый день, нужно доказать следующие теоремы.
1)Говорят, что величина $\[\xi \]$ распределена, распределением Пуассона с параметром $\[\lambda \]$, далее ($\[\xi \sim \prod {(\lambda )} \]$), если $\[P\{ \xi = k\} = \frac{{{\lambda ^k}{e^{ - \lambda }}}}{{k!}},k = 0,1,2,3,...,\]$. Основой одного из методов моделирования реализации случайной величины $\[\xi \]$, является следующая теорема:
Если $\[({\alpha _1}, \ldots ,{\alpha _n})\]$- независимые базовые величины, и $\[\xi = \min \left\{ {N:\;\prod\limits_{k = 1}^{N + 1} {{\alpha _k}} < {e^{ - \lambda }},\;N = 0,1,2, \ldots } \right\} = \min \left\{ {N:\;\sum\limits_{k = 1}^{N + 1} {\ln ({\alpha _k})} < - \lambda ,\;\;N = 0,1,2, \ldots } \right\}\]$, то $\[\xi \~\Pi (\lambda )\]$.
2) $\[P\left\{ {\xi = k} \right\} = p{(1 - p)^k}\]$,$\[p \in (0,1)\]$,$\[k = 0,1,2, \ldots \]$,$\[\xi \sim G(p)\]$
Теорема: Если $\[\alpha \]$- базовая величина и $\[\xi = \left[ {\frac{{\ln \alpha }}{{\ln \left( {1 - p} \right)}}} \right]\]$, то $\[\xi \sim G(p)\]$
3) $\[P\left\{ {\xi = k} \right\} = C_{k + r - 1}^k{p^r}{(1 - p)^k}\]$, $\[p \in (0,1)\]$,$\[r \in \mathbb{N}\]$, обозначение($\[\xi \~\overline {Bi} \left( {r,p} \right)\]$).
Теорема: Если обратить внимание на $\[\overline {Bi} \left( {1,p} \right) \equiv G(p)\]$, стойкость отрицательного биномиального распределения, можно использовать формулу $\[\xi = \sum\limits_{i = 1}^r {\left[ {\frac{{\ln {\alpha _i}}}{{\ln (1 - p)}}} \right]} \]$, то $\[\xi \~\overline {Bi} \left( {r,p} \right)\]$.
Нужно эти теоремы доказать, хотя если кто может порекомендовать, где об этом можно почитать, тоже буду рад.

[Anton2010]

Ну хотя бы, что то?

[Gortaur]

, то $xi$.

Вот это очень бьет по мозгу.

[Anton2010]

Gortaur
Так и должно быть.

[Gortaur]

Что значит фраза "Если ..., то $\xi$"????

[alisa-lebovski]

Советую книгу:
Г.А.Михайлов, А.В.Войтишек. Численное статистическое моделирование. Методы Монте-Карло. М.: Академия, 2006.

[--mS--]

Gortaur в сообщении #450178 писал(а):

Что значит фраза "Если ..., то $\xi$"????

Если навести мышкой, появляется подсказка Но если автор настаивает, что так и должно быть, то что ж...

Топикстартеру: все сформулированные утверждения есть простые учебные задачки, требующие лишь небольших навыков в вычислении распределений функций от случайных величин. Но судя по тому, что Вы даже не прочли текст, который вывалили сюда, доказывать эти утверждения вместе с Вами будет мучительно долго и трудно. Поэтому никто и не берётся. Источника, где бы излагались доказательства этих фактов (кроме студенческих семинарских тетрадок), я не знаю. Может быть, они и есть.

Если настаиваете, давайте попробуем. Во всех трёх задачах сначала найдите распределение величины $-\ln(\alpha)$, где $\alpha$ имеет равномерное распределение на отрезке $[0,\,1]$.