Найти множество сходимости (абсолютной и условной) ряда:

[coll3ctor]

gris в сообщении #448674 писал(а):

Мало Вам было одних проблем, Вы ещё и другие себе навесили
Как Вы будете расходимость объяснять — ума не приложу. Наверное, через радикальный признак. Необходимый не обоснуете, пожалуй. А про ряд из обратных квадратов и не знаете, наверное.
Исходный ряд то весь положительный, то знакочередующийся.

исходный то ряд знакочередующийся, там же ведь синус.

что такое ряд из обратных квадратов ? что-то интересное ?

[ИСН]

Так, gris, я в этой теме помолчу пока, чтобы не вышло, как в пословице, у семи нянек...

[gris]

Ой, что Вы. Это я помолчу.
Только боюсь, тут няньки не помогут
Пойду мороженку куплю, а то зивидно просто. Эх, жалко, что нельзя юзерпики обсуждать...
Да, напоследок, чтобы не оффтопить. При каждом конкретном $x$ ряд превращается в числовой. И его знакопостояноство зависит от знака синуса этого $x$. Ряд из обратных квадратов пригодится. Это $1/1^2+1/2^2+1/3^2+...$
за сим откланиваюсь

[coll3ctor]

эээ, а что дальше то ?

ну вот, я решил тригонометрическое неравенство:

$3|\sin{x}|<1 = |\sin{x}|<1/3$ => $ -\pi + \arcsin{(1/3)} + \pi n < x < \pi - \arcsin{(1/3)} + \pi n$

[gris]

Это неправильно. Ну хотя бы арксинус появился.
Ну да, у модуля синуса период $\pi$, но Вы немножко наоборот сделали. Ну и вообще не так. График бы нарисовали.
Но если из левой части убрать текст $\pi+$, а из правой (пардон, исправил.) $-\pi$, то получится правильно. То место, где признак Даламбера работает для ряда из абсолютных значений.
Теперь надо показать, что происходит в крайних точках, где $3|\sin x|=1$. Там тоже можно рассматривать абсолютную сходимость. Вот тут смотрим на знаменатель и пользуемся эквивалентностью рядов или мажорируем ряд сходящимся.
И, наконец, что происходит вне этих уже отрезков. Там Даламбер частично срабатывает, но на части интервалов ряд будет знакочередующимся. И тут мощно вступает необходимый признак сходимости. Для сходимости ряда необходимо, чтобы его общий член стремился к этому самому. Вы знаете, не отпирайтесь! Ну а почему он не стремится?

[coll3ctor]

gris в сообщении #448907 писал(а):

Это неправильно. Ну хотя бы арксинус появился.
Ну да, у модуля синуса период $\pi$, но Вы немножко наоборот сделали. Ну и вообще не так. График бы нарисовали.
Но если из левой части убрать текст $\pi+$, а из левой $-\pi$, то получится правильно. То место, где признак Даламбера работает для ряда из абсолютных значений.
Теперь надо показать, что происходит в крайних точках, где $3|\sin x|=1$. Там тоже можно рассматривать абсолютную сходимость. Вот тут смотрим на знаменатель и пользуемся эквивалентностью рядов или мажорируем ряд сходящимся.
И, наконец, что происходит вне этих уже отрезков. Там Даламбер частично срабатывает, но на части интервалов ряд будет знакочередующимся. И тут мощно вступает необходимый признак сходимости. Для сходимости ряда необходимо, чтобы его общий член стремился к этому самому. Вы знаете, не отпирайтесь! Ну а почему он не стремится?

1. $ + \arcsin{(1/3)} + \pi n < x < - \arcsin{(1/3)} + \pi n$ так?
2. график не умею :( не научили меня так..я по какому то справочнику делал
3. теперь я имею интервал, верно? теперь же разве не на концах проверить нада ?
4. необходимый если общей член не стремится к нулю ? вы об этом ? я просто в названиях путаюся

[gris]

Извиняюсь, я там перепутал по обыкновению право и лево. Переставьте местами плюс и минус перед арксинусом.
Теперь мы имеем систему равных интервалов. Проверим концы. Сразу для ряда из модулей. Какой ряд получается? В числителе-то единичка. А в знаменателе как раз почти тот ряд, о котором мы говорили.

[coll3ctor]

gris в сообщении #448928 писал(а):

Извиняюсь, я там перепутал по обыкновению право и лево. Переставьте местами плюс и минус перед арксинусом.
Теперь мы имеем систему равных интервалов. Проверим концы. Сразу для ряда из модулей. Какой ряд получается? В числителе-то единичка. А в знаменателе как раз почти тот ряд, о котором мы говорили.

1. $ - \arcsin{(1/3)} + \pi n < x < \arcsin{(1/3)} + \pi n$, ну а теперь?)
2. оу. а как я ето подставлю то?:(, т.е. :
а) $\sum {\frac {3^n\sin^n{(- \arcsin{(1/3)} + \pi n}}{n(n+2)})}$ - нужно установить, сх-ся он или нет и если сх-ся то граница будет [
б) $\sum {\frac {3^n\sin^n{\arcsin{(1/3)} + \pi n$}}{n(n+2}}$ - нужно установить, сх-ся он или нет и если сх-ся то граница будет ]
3. $\sum {\frac{1}{n(n+2)}}$ стремится к 0, расходится

[gris]

1. Да.
2. а и б объединяем. Да. При этом синус по модулю равен $1/3$, что в степени $n$ сокращается с $3^n$. В итоге получаем ряд из
3.Общий член стремится к нулю, да, но это необходимо для сходимости, но недостаточно. Тут нужен признак другой. Например, сравнения. В общем-то, можно и непосредственно посчитать сумму этого ряда, но нам это не нужно.
Вот наш ряд:
$\dfrac 1{1\cdot 3}+ \dfrac 1{2\cdot 4}+\dfrac 1{3\cdot 5}+...$
Увеличим каждый его член:
$\dfrac 1{1\cdot 1}+ \dfrac 1{2\cdot 2}+\dfrac 1{3\cdot 3}+...$
И что?

[coll3ctor]

gris в сообщении #448944 писал(а):

1. Да.
2. а и б объединяем. Да. При этом синус по модулю равен $1/3$, что в степени $n$ сокращается с $3^n$. В итоге получаем ряд из
3.Общий член стремится к нулю, да, но это необходимо для сходимости, но недостаточно. Тут нужен признак другой. Например, сравнения. В общем-то, можно и непосредственно посчитать сумму этого ряда, но нам это не нужно.
Вот наш ряд:
$\dfrac 1{1\cdot 3}+ \dfrac 1{2\cdot 4}+\dfrac 1{3\cdot 5}+...$
Увеличим каждый его член:
$\dfrac 1{1\cdot 1}+ \dfrac 1{2\cdot 2}+\dfrac 1{3\cdot 3}+...$
И что?

оба сходятся выходит ? => делаем квадратные скобки ? или что ? я чё-т ниточку потерял...

-- Вс май 22, 2011 21:25:29 --

coll3ctor в сообщении #448947 писал(а):

gris в сообщении #448944 писал(а):

1. Да.
2. а и б объединяем. Да. При этом синус по модулю равен $1/3$, что в степени $n$ сокращается с $3^n$. В итоге получаем ряд из
3.Общий член стремится к нулю, да, но это необходимо для сходимости, но недостаточно. Тут нужен признак другой. Например, сравнения. В общем-то, можно и непосредственно посчитать сумму этого ряда, но нам это не нужно.
Вот наш ряд:
$\dfrac 1{1\cdot 3}+ \dfrac 1{2\cdot 4}+\dfrac 1{3\cdot 5}+...$
Увеличим каждый его член:
$\dfrac 1{1\cdot 1}+ \dfrac 1{2\cdot 2}+\dfrac 1{3\cdot 3}+...$
И что?

оба сходятся выходит ? => делаем квадратные скобки ? или что ? я чё-т ниточку потерял...

а не не не второй расходится!

[gris]

Да. Делаем квадратные скобки. Так как мы всё время рассматривали абсолютные значения членов ряда, то он на этих отрезках сходится абсолютно.
А не отрезков синус по модулю больше $1/3$ и в числителе будет стоять $a^n$, где $|a|>1$.
Эта штука называется экспонента. Хоть ряд и знакочередуется, хоть и стоит в числителе вторая степень $n$, Экспоненту это не удержит. Общий член, увы, чт не делает? К чему не стремится? Какой признак не выполняется? Что делает ряд?
Вот сколько вопросов.

Второй ряд надо знать в лицо. И не цитируйте меня так уж много. Я стесняюсь

[coll3ctor]

gris в сообщении #448952 писал(а):

Да. Делаем квадратные скобки. Так как мы всё время рассматривали абсолютные значения членов ряда, то он на этих отрезках сходится абсолютно.
А не отрезков синус по модулю больше $1/3$ и в числителе будет стоять $a^n$, где $|a|>1$.
Эта штука называется экспонента. Хоть ряд и знакочередуется, хоть и стоит в числителе вторая степень $n$, Экспоненту это не удержит. Общий член, увы, чт не делает? К чему не стремится? Какой признак не выполняется? Что делает ряд?
Вот сколько вопросов.

Второй ряд надо знать в лицо. И не цитируйте меня так уж много. Я стесняюсь

так, ща нада итоги подвести пока что.

получается:
1. абсолютно сходится на отрезке $[- \arcsin{(1/3)} + \pi n;\arcsin{(1/3)} + \pi n)$
2. общий член не стремится к нулю, необходимый признак не выолпняется и ряд рассходится.вот

[gris]

1. Сзади тоже ] И это не отрезок, а система отрезков.
2. это про то, что осталось. То есть интервалы. Там ряд расходится. Но нам нет нужды их выписывать.
Вот видите, условной сходимости нет ни в одной точке, везде абсолютная. Вы зря только вспоминали. Вот как хорошо всё закончилось. Да... Ну, что же... Был рад.

[coll3ctor]

gris в сообщении #448964 писал(а):

1. Сзади тоже ] И это не отрезок, а система отрезков.
2. это про то, что осталось. То есть интервалы. Там ряд расходится. Но нам нет нужды их выписывать.
Вот видите, условной сходимости нет ни в одной точке, везде абсолютная. Вы зря только вспоминали. Вот как хорошо всё закончилось. Да... Ну, что же... Был рад.

Стойте! Сейчас я полностью выпишу сюда решение, проверите пожалуйста ? (преподователь очень сильно придирается к оформлению), да и ещё есть пара вопросиков.

1. $sin{(a)}*arcsin{(a)} = 1 ?$ типа как матрицу на обратную матрицу - единичная, 2 умножить на 2 в минус первой = 1 ? так?
2. почему когда множество сходимости находят, то что получится от предела делают меньше единицы и решают неравенство ? в смысле почему ИМЕННО меньше единицы ?

[gris]

1. $\sin(\arcsin(a)) = a $ при $|a|\leqslant 1$. типа как матрицу на обратную матрицу = единичная — если говорить о линейных преобразованиях; 2 умножить на 2 в минус первой = 1 , если умножение на число рассматривать как функцию.
2. Потому что таков признак Даламбера.