ТФКП Отображение с нормировкми

[SHIMA91]

Помогите пожалуйста разобраться.
Найти функцию $\omega(z)$, конформно отображающую област $\{|z-1|< 1 \}$, на область $\{|\omega| < 2\}$так, что бы $\omega(1/2) = i \ arg \omega'(1/2) = \pi$.
Я делаю отображение единичной окружности на единичную окружность $\omega = e^{i\phi}{\frac {(z-1)-a)} {(1-(z-1)\bar{a}}}$

Если подставить в лоб точку ${\frac 1 2}$ то у нас по простому не получится найти $a$.
Мой преподаватель сказал, что мол можно отобразить окружность $\{|z-1|< 1 \}$ на единичную и $\{|\omega| < 2\}$ на единичную тоже, а точку $\frac 1 2$ во что то а $i$ в ноль и тогда получаем эти отображения как то там равны и мы сможешь найти нашь парамет и угол $\phi$
Может кто знает как правильно сделать?

[Полосин]

Откройте учебник по ТФКП, раздел "Дробно-линейные отображения". Точка $z_1=1/2$ переходит в точку $w_1=i$. По принципу симметрии точка $z_2$, симметричная точке $z_1$ относительно границы области на плоскости $z$, перейдет в точку $w_2$, симметричную точке $w_1$ относительно границы области на плоскости $w$. Найдите точки $z_2$ и $w_2$. Запишите отображение в общем виде. Определите недостающие параметры, исходя из того, что граница переходит в границу.

[SHIMA91]

Я так ему показал, он сказал лучше делать типа через стандартное отображение единичной окружности на единичную окружность.
С помощью этого(о котором говорите вы) не совсем понятно как поступать с аргументом производной в точки(он нам нужен для выбора третей точки для отображения по трем точками)