Нахождение оснований трапеции

[Un1verse]

Добрый день.

Имеется описанная около окружности трапеция, боковые стороны которой равны $AB=CD=8$. Необходимо найти ее основания $BC$ и $AD$.

Собственно, мои догадки (пишите, если потребуются пояснения):

1. $AB + CD = AD + BC = 16 $

2. $AD-BC=2AE=2 \sqrt {AB^2 - 4r^2} = 2 \sqrt {64 - 4r^2}$

3. $\begin{cases} AD+BC=16 \\ AD-BC = 4 \sqrt {16-r^2} \end{cases}$, отсюда $2AD = 16+4 \sqrt {16-r^2} \\ 2r^2 = 32-(AD-8)^2$

4. $\begin{cases} AD+BC=16 \\ (AD-BC)^2=16(16-r^2) \end{cases}$, тогда $\begin{cases}AD+BC=16 \\ (AD-BC)^2=16((16- \frac {32-(AD-8)^2} {2} \end{cases}$

$(AD-16+AD)^2 = 8(32-32+(AD-8)^2) \\ (2AD-16)^2 = 8(AD-8)^2 \\ 2AD - 16 = 2 \sqrt {2} \cdot (AD-8) \\ 2AD- 2 \sqrt {2} \cdot AD = 16 - 16 \sqrt {2} \\ AD (2 - 2 \sqrt {2}) = 16 (1 - \sqrt {2}) \\ 2AD (1 - \sqrt {2}) = 16 (1 - \sqrt{2}) \\ AD = 8$

Следовательно, $BC = 8$

Получается квадрат.

Есть ли ошибка в моих вычислениях? По идее, квадрата быть не должно.

[Sasha2]

По моему задача поставлена не совсем корректно. Таких равнобочных трапеций можно нарисовать вагон, квадрат это только частный случай.
И вот почему:
1) Берем две параллельные прямые расстояние между которыми не более $8$.
2) Вписываем в них окружность.
3) Находим напраление $XY$ ($X$ на одной прямой, $Y$ - на другой), такое, что $XY=8$. Это примитивно ставим одну ножку циркуля в произвольную точку одной прямой и проводим окружность, до пересечения со второй. Итак, нужное направление найдено.
4) Проводим касательную к данной окружности, параллельную данному направлению, а затем проводим вторую касательную, симметричную первой относительно диаметра, перпендикулярного двум данным прямым.
Получите Вашу трапецию. И так для любой пары прямых, расстояние между которыми не более $8$.

Резюмирую все, сказанное выше, можно заметить, что не во всякую трапецию можно вписать окружность, но какова бы ни была окружность, для нее всегда можно найти описанную вокруг нее равнобочную трапецию, при условии, что длина боковой стороны не больше диаметра (в случае равенства, получите квадрат).

[gris]

Только не не больше, а не меньше диаметра. А так — да, данных не хватает.

Ошибка же в переходе от $2AD = 16+4 \sqrt {16-r^2} $ к $2r^2 = 32-(AD-8)^2$
А далее получается просто тождество, так как выражение подставляется в уравнение, из которого оно выведено.

[Sasha2]

Да признаю ошибку, что в последнем предложении просто опечатался.

[gris]

Получается, что для каждого $r\in (0;4)$ существует такая трапеция. Что же в задаче было дополнительным условием? Наверное, радиус.