Определённый интеграл

[Xenia1996]

Доказать, что $\int\limits_{0}^{\sqrt{2\pi}} \sin (x^2) dx>0$

Тут по формуле брать нужно?
Или нестандартный подход требуется?
Можете только на мысль навести, но не подсказывать?

[ИСН]

Он так не берётся. Тут надо смотреть на график этой функции и понимать, что верхняя волна больше нижней, а потому, если их, к примеру, наложить друг на друга, то там это самое.

[Xenia1996]

ИСН в сообщении #447116 писал(а):

Он так не берётся. Тут надо смотреть на график этой функции и понимать, что верхняя волна больше нижней, а потому, если их, к примеру, наложить друг на друга, то там это самое.

Это я визуально понимаю. Как решение оформить? Я же не напишу "верхняя волна больше нижней".

[ewert]

Xenia1996 в сообщении #447118 писал(а):

Как решение оформить?

Ну сделайте, например, соотв. замену, разбейте отрезок на два полупериода и воспользуйтесь тем, что единица на корень монотонно убывает.

[Xenia1996]

ewert в сообщении #447121 писал(а):

Xenia1996 в сообщении #447118 писал(а):

Как решение оформить?

Ну сделайте, например, соотв. замену, разбейте отрезок на два полупериода и воспользуйтесь тем, что единица на корень монотонно убывает.

Соответствующую замену - это вот так?

-- Ср май 18, 2011 11:58:25 --

Пусть $x^2=t$. Тогда $\int_{0}^{\sqrt{2\pi}} \sin (t) dx=-cos(\sqrt{2\pi})+cos 0\ne \int_{0}^{\sqrt{2\pi}} \sin (x^2) dx$. Где ошибка?

[ewert]

Xenia1996 в сообщении #447125 писал(а):

Где ошибка?

Вот здесь:

Xenia1996 в сообщении #447125 писал(а):

$\int_{0}^{\sqrt{2\pi}} \sin (t) dx$

Т.е. не то что это в буквальном смысле ошибка, но если делать замену -- то уж до конца.

[Xenia1996]

ewert в сообщении #447132 писал(а):

Xenia1996 в сообщении #447125 писал(а):

Где ошибка?

Вот здесь:

Xenia1996 в сообщении #447125 писал(а):

$\int_{0}^{\sqrt{2\pi}} \sin (t) dx$

Т.е. не то что это в буквальном смысле ошибка, но если делать замену -- то уж до конца.

Спасибо, теперь, вроде, поняла. Вместо dx надо было dt. Ещё раз спасибо!

[Xey]

ewert в сообщении #447132 писал(а):

Где ошибка?

t меняется от 0 до 2 пи , еще и из dx что-нибудь появится, в общем правильнее бы объяснить нестандартно, на пальцах

[TOTAL]

Xenia1996 в сообщении #447112 писал(а):

Доказать, что $\int\limits_{0}^{\sqrt{2\pi}} \sin (x^2) dx>0$
Можете только на мысль навести, но не подсказывать?

Следует из $\int\limits_{0}^{\sqrt{2\pi}}(1-x\sqrt{\pi}) \sin (x^2) dx>0$

[ewert]

TOTAL в сообщении #447143 писал(а):

Следует из $\int\limits_{0}^{\sqrt{2\pi}}(1-x\sqrt{\pi}) \sin (x^2) dx>0$

Жуть.

[Xenia1996]

TOTAL в сообщении #447143 писал(а):

Xenia1996 в сообщении #447112 писал(а):

Доказать, что $\int\limits_{0}^{\sqrt{2\pi}} \sin (x^2) dx>0$
Можете только на мысль навести, но не подсказывать?

Следует из $\int\limits_{0}^{\sqrt{2\pi}}(1-x\sqrt{\pi}) \sin (x^2) dx>0$

Вот это, я так понимаю, и есть тот самый нестандартный подход, на который намекали авторы задачи?

[TOTAL]

Xenia1996 в сообщении #447145 писал(а):

Вот это, я так понимаю, и есть тот самый нестандартный подход, на который намекали авторы задачи?

Ответить можно, только если авторы расскажут, на что намекали.

[Xenia1996]

TOTAL в сообщении #447153 писал(а):

Xenia1996 в сообщении #447145 писал(а):

Вот это, я так понимаю, и есть тот самый нестандартный подход, на который намекали авторы задачи?

Ответить можно, только если авторы расскажут, на что намекали.

Для желающих публикую ссылку на задачу (её номер=4):

http://www.ariel.ac.il/Projects/dom/itpm/finr.pdf

-- Ср май 18, 2011 12:56:21 --

А вот и авторское решение:
http://www.ariel.ac.il/projects/dom/itpm/sol2008.pdf

[Xey]

TOTAL в сообщении #447143 писал(а):

Следует из $\int\limits_{0}^{\sqrt{2\pi}}(1-x\sqrt{\pi}) \sin (x^2) dx>0$

Ну если считать, это это всем известно...

[TOTAL]

Xey в сообщении #447177 писал(а):

TOTAL в сообщении #447143 писал(а):

Следует из $\int\limits_{0}^{\sqrt{2\pi}}(1-x\sqrt{\pi}) \sin (x^2) dx>0$

Ну если считать, это это всем известно...

Всем известно, что $\int\limits_{0}^{\sqrt{2\pi}}f(x) dx \ge 0, $ если $f(x) \ge 0.$

Вот без опечатки $\int\limits_{0}^{\sqrt{2\pi}}(1-\frac{x}{\sqrt{\pi}}) \sin (x^2) dx>0$