Два случайных натуральных числа взаимо просты, вероятность

[Gortaur]

Посчитать вероятность того, что два натуральных (случайно взятых) числа взаимо просты. Ответ известен. Не известно, какая мера подразумевается под случайным взятием натуральных чисел. Какая?

[ИСН]

Равномерная от 1 до N, предел при...

[Gortaur]

То есть по сути, вероятность считают как предел решения задач на отрезках $[1,N]$? А если брать другие отрезки, то и ответ будет другой?

[Батороев]

Gortaur в сообщении #447095 писал(а):

Посчитать вероятность того, что два натуральных (случайно взятых) числа взаимо просты. Ответ известен. Не известно, какая мера подразумевается под случайным взятием натуральных чисел. Какая?

Подозреваю, что не наложив условие на число простых делителей выбираемых чисел, ответ найти будет проблематично. Или я не прав?

[venco]

Gortaur в сообщении #447102 писал(а):

То есть по сути, вероятность считают как предел решения задач на отрезках $[1,N]$? А если брать другие отрезки, то и ответ будет другой?

И если брать не равномерное распределение, то ответ тоже может быть другой.
Ведь можно подобрать такое распределение, чтобы охватить сразу все натуральные числа.
Но, по крайней мере, когда говорят о плотности простых (или простых близнецов), то имеют в виду предел на отрезке $[1,N]$.

[Joker_vD]

venco в сообщении #447192 писал(а):

Ведь можно подобрать такое распределение, чтобы охватить сразу все натуральные числа.

А можно поподробнее? При таком распределении равновозможность отсутствует или нет?

[ИСН]

Да нивапрос! Геометрическое можно, или вот тоже Пуассона.
С равновозможностью у них, правда, не того. А как Вы хотели? Бесконечность же. Кусается, собака.

[Joker_vD]

ИСН в сообщении #447197 писал(а):

Да нивапрос! Геометрическое можно, или вот тоже Пуассона.

$P\{\xi=n\} = p(1-p)^n$? Да, неплохо. Но вот интересно, а есть ли такое распределение, чтобы, к примеру, $P\{k \text{ делит } \xi\} = \frac1k$?

ИСН в сообщении #447197 писал(а):

С равновозможностью у них, правда, не того. А как Вы хотели? Бесконечность же. Кусается, собака.

Да помню, у меня здесь где-то даже и тема с таким же вопросом была, где я показывал, что такое распределение невозможно.

[Gortaur]

Была-была - здесь как раз вопрос в том, что раз нет такой меры, что понимать под вопросами о "наугад взятых случайных натуральных числах". Ведь если бы любая вероятность в такой задаче могла бы быть вычислена с помощью любой возрастающей последовательностью множеств и одним и тем же ответом - это значило бы, что такую меру можно ввести.

Поэтому и возникло подозрение, что решение данной задачи сильно зависит от того, что мы двигаем $[0,N]$, а не пользуемся другой последовательностью отрезков.

[Батороев]

Пользуясь случаем, хотел задать вот такой вопрос:
Число натуральных чисел, взаимнопростых примориалу $p_{i}\#$ (где $i=1,2,3...$) на интервале от $1$ до $p_{i}\#$, равно функции Эйлера $\varphi (p_{i}\#)$.
Существуют ли какие-либо результаты исследований математиков о том, в какой мере может различаться друг от друга в пределах от $1$ до $p_{i}\#$ распределение взаимнопростых чисел на отдельно взятых интервалах, равных $p_{i}$?

[Gortaur]

(Оффтоп)

О нет! Вы пытаетесь сыграть на сомнительной популярности моего топика!

[Sonic86]

(Оффтоп)

Батороев писал(а):

Пользуясь случаем, хотел задать вот такой вопрос:
Число натуральных чисел, взаимнопростых примориалу $p_{i}\#$ (где $i=1,2,3...$) на интервале от $1$ до $p_{i}\#$, равно функции Эйлера $\varphi (p_{i}\#)$.

ну да

Батороев писал(а):

Существуют ли какие-либо результаты исследований математиков о том, в какой мере может различаться друг от друга в пределах от $1$ до $p_{i}\#$ распределение взаимнопростых чисел на отдельно взятых интервалах, равных $p_{i}$?

По-моему, где-то здесь и брал ссылку на нечто подобное. Сейчас посмотрел - не нашел. Попробуйте погуглить или исследовать сами. Может даже подключусь к Вам.

[Батороев]

(Оффтоп)

Gortaur в сообщении #447530 писал(а):

О нет! Вы пытаетесь сыграть на сомнительной популярности моего топика!

О нет! Наоборот "поддернул" Ваш топик, пытаясь поднять его и без того высокий рейтинг!

Забыл в вопросе указать - "без учета интервалов от $0$ до $p_{i}$ и от $(p_{i}\# -p_{i})$ до $p_{i}\#$", в которых естественно, всего по одному взаимнопростому.