решить численно x*ln(x)=a

[Uri]

Как решить уравнение: $x\ln x=a$, где $a$ - действительное положительное число.
Заранее благодарен.

[Dan_Te]

При $a<-1/e$ решений нет. При $a\in(-1/e,0)$ два корня, при $a>=0$ один корень (если не доопределять функцию $x\ln x$ нулем в нуле). Общая формула корней в элементарных функциях вроде не выражается.

[Руст]

Dan_Te писал(а):

При $a<-1/e$ решений нет. При $a\in(-1/e,0)$ два корня, при $a>=0$ один корень (если не доопределять функцию $x\ln x$ нулем в нуле). Общая формула корней в элементарных функциях вроде не выражается.

В условии сказано, a - положительное число. Соответственно x>1 и функция xlnx монотонно растёт. Решение действительно в элементарных функциях не выражается.

[Uri]

Цитата:

Решение действительно в элементарных функциях не выражается.

Нахождение x требуется для практического применения.Можетбыть есть числовой метод решения с той или иной степенью точности, выраженный в элементарных функциях? Решать это уравнение с помощью графика или путем подстановки я умею. Подскажите уважаемые математики более конструктивный метод.
Заранее благодарен.

[ИСН]

Берите да считайте методом Ньютона. Должен сходиться со свистом.

[Uri]

to ИСН
Большое спасибо! Метод Ньютона (касательных) то что надо. Самое смешное, что все это я когда-то проходил в техническом ВУЗе. Но до этого момента теория с практикой в этом вопросе не срастались. Как говорится: "Век живи, век учись...и дураком помрешь"
Еще раз, большое спасибо!

[maxal]

Аналитически решение выражается через W-функцию Ламберта:

$x = e^{W(a)} = \frac{a}{W(a)}$

Нужно иметь в виду, что W-функция Ламберта - многозначная функция, и указанная формула может давать несколько решений для одного и того же a.

Вот для примера значения x для a=1,2,...,10 полученные в мапле:

> seq(evalf(a/LambertW(a)),a=1..10);
1.763222834, 2.345750754, 2.857390784, 3.327322323, 3.768679464, 4.188760119, 4.592135677, 4.981903249, 5.360281110, 5.728925565

А вот значения x с другой ветви функции для тех же значений a:

> seq(evalf(a/LambertW(1,a)),a=1..10);
-0.07136095242 - 0.2035430395 I, -0.07863662528 - 0.4269931718 I, -0.06076323012 - 0.6438560913 I, -0.02871142162 - 0.8539583836 I, 0.01268443014 - 1.058188929 I, 0.06079845048 - 1.257377803 I, 0.1140211880 - 1.452198250 I, 0.1712843677 - 1.643187804 I, 0.2318374828 - 1.830779270 I, 0.2951302955 - 2.015325964 I

[Dan_Te]

Руст писал(а):

В условии сказано, a - положительное число.

И правда. Невнимательно читаю.