разминка

[Мухтар]

Пусть p и q натуральные числа , такие, что p/q=1-1/2+1/3-1/4+...-1/1318+1/1319 доказать, что p делится на 1979

[Мухтар]

Ну неужели никто разомнуться не хочет. Мой математик два часа голову ломал, не решил. Эту задачу задали моему младшему брату в школе. В 8м классе..

[RIP]

Надо воспользоваться равенством

$$1-\frac12+\frac13-\frac14+\ldots+\frac1{2k-1}-\frac1{2k}=\frac1{k+1}+\frac1{k+2}+\frac1{k+3}+\ldots+\frac1{2k}$$

[Someone]

Да, действительно делится: 1-1/2+1/3-1/4+...+1/1319=
971243537017645721178903211227570503543605802305666817216269112276964353613496
338888741850351821222770718188739928442132420999158026137218088106604226734001
382254302163099379030187191730667247900374234773190689450220661168497337734982
214072786674879347231455514608195413335921969322484234571620156283811311048866
422999044325850859533239512961728614358089856690812823243618746637187164109560
825785983266985958715907797284325574114394600514454672008410412642640125420948
385843552514663707886945205678870894460896001671218040951566830190968605636365
4039823351264466923197720153813 /
140044263701948804619343436820447743912828330311279107462977867819591055848288
616941802709001553207368664851783579697578142257004693748184541862705601564196
861165420290276967428704882777135730145988702063975124887061415171934261220862
316341780802377230654486825981311825976235273131790688782312984726504584063307
230143589867321790043225786691079710031623722627749211098359805515007678987974
523047996280718491866332847210931634390376830007818986955946460921248679410595
324531407209849932757037376488884192237742369637229672994844934665387927666610
68428697404447683623975519360000
и
971243537017645721178903211227570503543605802305666817216269112276964353613496
338888741850351821222770718188739928442132420999158026137218088106604226734001
382254302163099379030187191730667247900374234773190689450220661168497337734982
214072786674879347231455514608195413335921969322484234571620156283811311048866
422999044325850859533239512961728614358089856690812823243618746637187164109560
825785983266985958715907797284325574114394600514454672008410412642640125420948
385843552514663707886945205678870894460896001671218040951566830190968605636365
4039823351264466923197720153813 / 1979 =
490774905011443012217737853071031078091766448865925627698973780837273549072004
213688095932466812138843212829075254392184144011701882838412373980093090820617
171427136009651025280539258075122409247283595135518286735836615042191681523487
728182307566892040036106879539259935995918124973463483866407355373325574051978
990904014313214178642364584619367667689787699186868531199403105930867692829490
058507318477506800765996865732352488183120060896642077821329162527862620222813
737161977015999852393605460171233397908487115548872178348442056690737041756627
2885206342225602285597635247
(хорошо, когда под рукой Mathematica). Только как это должен доказывать восьмиклассник?

P.S. Пока писал, RIP вставил своё предложение. Только там маленькая опечатка: последний нечётный член в левой части равенства должен быть со знаком "плюс", а следующий за ним чётный - со знаком "минус".

[RIP]

[Руст]

Я здесь как то предлагал здесь даже более сложные отрезки суммирования степеней по части остатков при делении на простое число( вплоть до 1/30 части). У меня есть такие формулы с точностью до порядка p^3. Здесь достаточно рассмотреть после приведения Rip ом сумму $$S=\sum_{p/3<k<2p/3}\frac{1}{k}$$.
Если выразить 1/k=-1/(p-k)(mod p) и сложить S с самим собой, получим 2S=0(mod p), p=1979 простое число бодьше 3.

Добавлено спустя 21 минуту 46 секунд:

В принципе здесь достаточно сложить попарно члены (справа и слева)

$$\sum_{k=661}^{989}(\frac{1}{k}+\frac{1}{p-k})=p\sum_{k=661}^{989}\frac{1}{k(p-k)}$$

Думаю это доступно школьнику.

[Мухтар]

а если использовать ряд Тейлора?

(ln(x+1)=x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + ... и до бесконечности)
если подставим x=1 , то
тогда получится, что p/q = ln2 = 0.69313...(приблизительно)
а дальше??

[Someone]

Мухтар писал(а):

а если использовать ряд Тейлора?

Избави Бог. Вам уже, фактически, RIP и Руст показали полное решение, остались простые преобразования.