Задача на сопряженный оператор в банаховом пространстве.

[GeorgyG]

Здравствуйте!

Помогите, пожалуйста, решить следующую задачу.

Пусть X,Y - банаховые пространства. А из L(X,Y). Доказать, что А*(Y*)=Х* в точности тогда, когда А имеет нулевое ядро и замкнутый образ.

Из близких этой теме теорем я нашел только два пути, которые могут к чему-нибудь привести:

1)Если А из L(X,Y) обратим, то А* обратим тоже.

2)Если K из K(X,Y) то есть K* компактен. А про образ компактного оператора замкнут.

Но дальше я продвинуться не смог.


Заранее спасибо.

[sup]

Можно посмотреть, как доказывается (1) и попробовать этим воспользоваться.
А можно рассмотреть пространство $Y_1=\overline {AX}$ - замыкание образа оператора $A$ и применить к нему (1).