Теория меры

[wadzim]

Пусть $f_n$ последовательность функций, сходящаяся по мере $\mu$ к функции $f$ на множестве $A$. Доказать, что эта последовательность является фундаментальной по мере $\mu$, т.е. $\forall \sigma > 0$ $\forall \epsilon > 0$ $\exists N: \forall n,m > N$ $\mu \{x \in A:|f_n(x)-f_m(x)| \geqslant \sigma \}<\epsilon$.

[Юстас]

$\mu(|f_n(x)-f_m(x)|>\varepsilon)\leqslant\mu(|f_n(x)-f(x)|>\frac{\varepsilon}{2})+\mu(|f_m(x)-f(x)|>\frac{\varepsilon}{2})\to\ 0$.