n-ое приближение квадратного корня.

[Руст]

Пусть a положительное число. Определим последовательность:
$x_0>0, \ x_{n+1}=\frac 12 (x_n+\frac{a}{x_n}).$
Выразить явно $x_n=f(x_0,n)$.

[Sasha2]

Ну прежде всего можно вынести корень из a за скобки и перейти к несколько более простой форме этой последовательности, а именно:

z(n)=1/2*(z(n)+1/z(n))

Далее легко заметить что z(n) может быть выражена по формуле

z(n)=(1/2)^n * (P(n)/Q(n)), где P(n) и Q(n) - некоторые последовательнсоти многочленов, которые удовлетворяют следющим соотношениям:

P(n)^2+Q(n)^2=P(n+1)
P(n)Q(n) = Q(n+1).

Но что это за многочлены честно скажу просто образования не хватает. (Может быть там что-то вроде полиномов Чебышева, Лагерра, Эрмита или еще чего-то подобного, ну тут я сразу признаю, что слышал звон, но не знаю где он)

[Руст]

Под z(n) наверное обозначили: $z_n=\frac{x_n}{\sqrt a }$. Этот множитель действительно легко вывести. Да и многочлены несложно выразить, при этом надо иметь в виду, что степень при таком представлении каждый раз удваивается.

[ИСН]

Что-то типа: сверху стоит кусок из (1+x)^{2^n}, содержащий все члены с чётными степенями x, а внизу - с нечётными.

[Руст]

Возьмём последовательность $y_n=\frac{x_n+\sqrt{a}}{x_n-\sqrt a }$. Легко проверяется, что $y_n=y_0^{2^n}$, поэтому
$x_n=\sqrt a (1+\frac{2}{y_0^{2^n}-1}), \ y_0=\frac{x_0+\sqrt a }{x_0-\sqrt a }$.