доказать с помощью ряда Маклорена

[tavrik]

дано:
f непрерывна на отрезке [0,1] и имеет вторую производную в точке х=0.
неизвестно, имеет ли она вторую производную в других точках.
доказать, что:

$$\lim\limits_{x\to 0+}{x\int\limits_x^1}\frac{1}{t^2}f(t)dt = f(0)$$

неясен откуда всялся этот предел. раз Маклорен то в окрестностях х= 0. и непонятно, что с остатком - если функция два имеет вторую вторую производную то можно её расписать до R3 ?
спасибо.

[Padawan]

Вроде, достаточно непрерывности в нуле.
Подставьте $f(t)=f(0)+\alpha(t)$, где $\alpha(t)\to 0 $ при $t\to 0$.

[ewert]

Padawan в сообщении #444979 писал(а):

Вроде, достаточно непрерывности в нуле.

Достаточно, но не вполне безобидно: тот факт, что $x\int\limits_x^1\dfrac{\alpha(t)}{t^2}\,dt$ стремится к нулю -- нуждается в доказательстве. И даже после напрашивающейся замены $y=\dfrac1t$ придётся ещё произнести энное количество заклинаний.

tavrik в сообщении #444977 писал(а):

раз Маклорен то в окрестностях х= 0. и непонятно, что с остатком - если функция два имеет вторую вторую производную то можно её расписать до R3 ?

Нельзя. Только до квадрата. Но этого и достаточно.

Существование второй производной только в нуле подразумевает, что функция не просто непрерывна, но и один раз дифференцируема -- по крайней мере, в окрестности нуля. Тогда справедлива формула Маклорена с только двумя членами: $f(t)=f(0)+f'(0) \cdot{t}+O(t^2)$ (наличие второй производной в нуле вот как раз и гарантирует квадратичную оценку остатка, но ничего более). Интегралы от первых двух слагаемых считаются явно: первое в пределе даёт, очевидно, $f(0)$, а второе -- ноль (поскольку соотв. интеграл расходится в нуле всего лишь логарифмически). Ну а интегрирование остатка даст просто ограниченную величину, которая после умножения на икс даст в пределе тем более ноль.

И, кстати, никаким рядом Маклорена тут и не пахнет. Речь именно о формуле Маклорена.

[Padawan]

ewert в сообщении #444989 писал(а):

Существование второй производной только в нуле подразумевает, что функция не просто непрерывна, но и один раз дифференцируема -- по крайней мере, в окрестности нуля. Тогда справедлива формула Маклорена с только двумя членами: $f(t)=f(0)+f'(0) \cdot{t}+O(t^2)$ (наличие второй производной в нуле вот как раз и гарантирует квадратичную оценку остатка, но ничего более)

Как это ничего более? Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано $f(t)=f(0)+f'(0) \cdot{t}+\frac{1}{2}f''(0)t^2+o(t^2)$