Мультимножество

[Xenia1996]

Назовём мультимножеством множество, элементы которого не обязательно различны.
Элементами конечного непустого мультимножества $M$ являются нечётные натуральные числа. Известно, что сумма всех элементов $m\in M$ равна их же произведению.
Какие значения может принимать $ |M| $?
(через $ |S| $ обозначается мощность множества $S$)

[ИСН]

Какие угодно. Напихаю туда нормальных чисел, а потом единиц по вкусу.

-- Ср, 2011-05-11, 22:18 --

ну, нечётные, конечно.

-- Ср, 2011-05-11, 22:18 --

и притом составные. да.

[Xenia1996]

ИСН в сообщении #444856 писал(а):

Какие угодно. Напихаю туда нормальных чисел, а потом единиц по вкусу.

-- Ср, 2011-05-11, 22:18 --

ну, нечётные, конечно.

-- Ср, 2011-05-11, 22:18 --

и притом составные. да.

Число 5 - составное. Как страшно жить!

[ИСН]

а, ну да, можно же не пихать единиц

[Xenia1996]

ИСН в сообщении #444860 писал(а):

а, ну да, можно же не пихать единиц

А число 3 попробуйте. В смысле, чтобы мощность была равна 3.

[ИСН]

Стоп. Я как обычно прочитал всё наискосок и всю дорогу думал про это самое произведение, оно же сумма. А не про то, сколько их там. Щас.

-- Ср, 2011-05-11, 22:31 --

strange enough, возможные значения этого довольно похожи на возможные значения того.

-- Ср, 2011-05-11, 22:34 --

но всё-таки...

-- Ср, 2011-05-11, 22:40 --

а, ну вот, все вида $4n+1$ можно,

-- Ср, 2011-05-11, 22:42 --

а прочие - когда как.

[Xenia1996]

ИСН в сообщении #444865 писал(а):

а, ну вот, все вида $4n+1$ можно,

-- Ср, 2011-05-11, 22:42 --

а прочие - когда как.

Когда и как (если вообще)?

[Руст]

Берем числа $3,2k+1$ и $4k-1$ единиц. В этом случае $|M|=4k+1, k\ge 1$.
В общем случае пусть $d_i, i=1,...k$ нечетные больше 1. Тогда надо это множество дополнить с $\prod_i d_i-\sum_i d_i$ единичками. Соответственно $|M|=\prod_i d_i-\sum_i (d_i-1)$. В сумме четное число. Поэтому если $n$ чисел вида $4k+3$, то произведение имеет вид $(-1)^n\mod 4$ а сумма $2n\mod 4$, т.е. $|M|=1\mod 4$ и в общем случае.

[Xenia1996]

Руст в сообщении #444877 писал(а):

Берем числа $3,2k+1$ и $4k-1$ единиц. В этом случае $|M|=4k+1, k\ge 1$.
В общем случае пусть $d_i, i=1,...k$ нечетные больше 1. Тогда надо это множество дополнить с $\prod_i d_i-\sum_i d_i$ единичками. Соответственно $|M|=\prod_i d_i-\sum_i (d_i-1)$. В сумме четное число. Поэтому если $n$ чисел вида $4k+3$, то произведение имеет вид $(-1)^n\mod 4$ а сумма $2n\mod 4$, т.е. $|M|=1\mod 4$ и в общем случае.

Ну вот, теперь - порядок!