Уравнение со степенями

[I want to get five]

$4^x\cdot 5^{\frac{1}{x}}=20$

Каков оптимальный способ решения?

Если прологарифмировать, то будет ужасное квадратное уравнение, содержащее логарифмы...

(Оффтоп)

Есть еще вопрос -- как можно перевести в $pdf$ написанное на форуме оптимальным образом?))

[nnosipov]

I want to get five в сообщении #444735 писал(а):

$4^x\cdot 5^{\frac{1}{x}}=20$

Каков оптимальный способ решения?

Если прологарифмировать, то будет ужасное квадратное уравнение, содержащее логарифмы...

(Оффтоп)

Есть еще вопрос -- как можно перевести в $pdf$ написанное на форуме оптимальным образом?))

А Вы один логарифм обозначьте буквой $a$, а другой --- буквой $b$. И нет логарифмов!

[ИСН]

А почему квадратное-то?

[vlad_light]

$(4^x5^{\frac{1}{x}})^x=20^x$
$4^{x^2}\cdot 5=(4\cdot 5)^x$
$4^{x^2-x}=5^{x-1}$
$(x^2-x)ln4=(x-1)ln5$
$\frac{x(x-1)}{x-1}=\frac{ln5}{ln4}$
$x=1$ v $x=\frac{ln5}{2ln2}$

[arseniiv]

(О логарифмах.)

\ln a

$\ln a$

[I want to get five]

vlad_light в сообщении #444751 писал(а):

$(4^x5^{\frac{1}{x}})^x=20^x$
$4^{x^2}\cdot 5=(4\cdot 5)^x$
$4^{x^2-x}=5^{x-1}$
$(x^2-x)ln4=(x-1)ln5$
$\frac{x(x-1)}{x-1}=\frac{ln5}{ln4}$
$x=1$ v $x=\frac{ln5}{2ln2}$

Спасибо, понятно=))
Я делал намного более ужасным способом!!!

[SokolovArt]

Так ведь и $x=1$ тоже корень.

[ewert]

Стандартный способ решения:

$$\log_4\left(4^x 5^{\frac1x}\right)=\log_4{20},\quad x+\frac1x\,\log_45=\log_4{20},\quad x^2-(1+\log_45)x+{\log_45}=0.$$

Один корень: $x=1$ -- очевиден (собственно, он и с самого начала ещё более очевиден), тогда второй $x=\log_45$ -- сразу же по теореме Виета.