Продолжить последовательность...

[Gortaur]

Не знаю, как насчет олимпиад (где задачи ставятся корректно в 99% случаев), но например в тестах на IQ нередко встречаются задачи типа "продолжите последовательность $1,4,9,...$" или $1,1,2,3,5,...$. Разумеется, что для первой, что для второй последовательности можно привести красивые продолжения как $n^2$ или $F_n$.

С другой стороны, для любой начальной последовательности можно придумать какое угодно "обоснованное" продолжение, таким образом, задача поставлена вообще некорректно.

Как же тогда выбирается правильный ответ? Не думаю, что там используется сложность по Колмогорову (хотя именно она могла бы быть отличным критерием). Если тема дискуссионная, переправьте ее пожалуйста в соответсвующий раздел.

[caxap]

Выразимость общего члена замкнутой формулой из заданного набора функций (напр. элементарных) ?

[arseniiv]

Gortaur в сообщении #444666 писал(а):

Как же тогда выбирается правильный ответ?

Это зависит от того, кто в вопросе субъект. Выбирается создателями, выбирается отгадывающим или кем? Создателями, наверно, выбирается с помощью генератора мыслей случайной умности; отвечающим выбирается, исходя из (иногда очень мучительного) перебора знакомых последовательностей и всяких прикидок по поводу простых формул (но ведь обычно никто не даёт заданный набор функций, а он у составителей может оказаться любым, см. A005589).

[beroal]

Я встречал такой вопрос в психологическом тесте. Поэтому, я думаю, при составлении вопроса вообще не исходили из математических соображений. Это вопрос типа «угадайте, какое число/животное я загадал». В компании это нормальная игра, а вот вставлять такое в тесты, а потом на основании ответов делать выводы о профпригодности…

[matod]

С одной стороны действительно, задача имеет множество различных решений с т.зр. математики.

Тесты же рассчитываются на "среднестатистического" испытуемого, который не имеет специального мат. образования, и с похожими задачами сталкивался в школе, в начальных и средних классах. Где на подобных примерах вырабатывалось умение находить простые закономерности в числовых последовательностях.
Так что "правильным" в тестах считается ответ, который можно записать с помощью 1-2 операций сложения или умножения близких чисел (последних двух, или стоящих на четных-нечетных местах).

Понятно, что такие задания не правильно "оценивают" интеллект людей, склонных к оригинальному мышлению или имеющих более широкое представление о последовательностях :) Но здесь есть два момента:

1) "Интеллект", как и любой другой показатель для психолога - это степень адаптированности и восприятия реальности. Можно сказать, что глазами психолога, человек который не может угадать "простое решение", а видит только "сложные" - имеет трудности в понимании других людей, а следовательно его "интеллект" ниже.
При этом, надо учитывать, что обычно тесты на IQ применяют в качестве инструмента массового обследования, где ничтожный процент сильно умных математиков не влияет на общую картину.

2) Любой тест, каким бы он крутым не был, дает всегда упрощенную картину, которая к тому же сильно зависит от текущей ситуации. Один и тот же человек может получить 100 из 100 балов, находясь в хорошем настроении, и показать результат "ниже плинтуса", если он чем-то сильно расстроен, утомлен или подавлен. Или просто не хочет решать этот идиотский тест.
Поэтому, при индивидуальной проф. ориентации, настоящий психолог либо не использует тесты вообще, либо пользуется результатами как "первыми приближениями". Т.е. увидев "неправильный" ответ на задачу о последовательности он не будет делать вывода о мат.способностях клиента, а первым делом спросит - а почему вы ответили так?

Т.е. "правильный" ответ - это своего образа индикатор нормы. А "неправильный" рассматривается как отклонение. В какую сторону отклонение - выясняется дополнительным исследованием при собеседовании. :)

[VAL]

beroal в сообщении #445276 писал(а):

Я встречал такой вопрос в психологическом тесте. Поэтому, я думаю, при составлении вопроса вообще не исходили из математических соображений. Это вопрос типа «угадайте, какое число/животное я загадал». В компании это нормальная игра, а вот вставлять такое в тесты, а потом на основании ответов делать выводы о профпригодности…

Вопрос неоднократно поднимался. Логику Вашего ответа понимаю. Но не разделяю :)
Да, действительно, понятие "закономерности" расплывчато и формально продолжение может быть любым. Соответствующую "закономерность" обеспечит, например, интерполяционный многочлен.
Но это формально. Содержательно же тестовые задания такого типа имеют право на существование. Обоснование - хорошая корреляция успешности нахождения правильного (с точки зрения автора теста) решения с другими показателями IQ тестируемых.
Разумеется, речь идет о случаях, когда один из способов продолжения последовательности безоговорочно является гораздо более естественным, чем прочие.
Вполне, отдаю себе отчет в том, что понятие "естественность" вновь не формализованное. И тем не менее.

PS: Естественность не должна определяться большинством голосов. Например, гарантирую Вам (ибо проверял), что подавляющее большинство респондентов в качестве наиболее "естественного" продолжения последовательности 1, 2, 4, ... выберут не 8 (что, на мой взгляд, наиболее естественно) и не 7 (что тоже вполне естественно и, тем самым, означает, что включать эту последовательность в тест не корректно), а 6. Не верите, проверьте.

[arseniiv]

Нет, нет, только не говорите, что вы думаете, что IQ ещё можно не закапывать!

Я проходил тест и не смог расставить города по порядку. Оказалось, надо было расставить их по долготе! (При том, что города не такие уж и всем известные.) Интеллект тут ну вообще ни при чём. И таких реализаций IQ полно! Может, есть какая-нибудь нормальная, но веры нет.

[gris]

Многие тесты проверяют не интеллект, а эрудицию или даже просто память. Школьник, интересующийся математикой, наверняка знает простые числа, квадраты, кубы, треугольник Паскаля, числа Фиббонначчи
(Какие буквы лишние? а) б и ч в) н и ч с)н и б d) б, н и ч
Видел у Галкина, чессово )

[beroal]

VAL в сообщении #445338 писал(а):

Естественность не должна определяться большинством голосов.

Ну да, она определяется извивами ума автора теста.

(Оффтоп)

P.S. Я считаю, что «естественность» — понятие из того же класса, что и «элегантность», «изящность», «красота». То есть зависит от вкусов. О которых не спорят. Доказательство у меня всегда перед глазами — программисты называют изящные математические теории «туманными», «запутанными», «слишком сложными». А спорить — себе дороже.

[Joker_vD]

(Оффтоп)

beroal в сообщении #446240 писал(а):

P.S. Я считаю, что «естественность» — понятие из того же класса, что и «элегантность», «изящность», «красота». То есть зависит от вкусов. О которых не спорят. Доказательство у меня всегда перед глазами — программисты называют изящные математические теории «туманными», «запутанными», «слишком сложными». А спорить — себе дороже.

Казалось бы, что может быть естественнее естественного гомоморфизма $\pi\colon R \to R/I$? Разве что естественное вложение $\iota\colon k[x] \to k(x)$

[mserg]

Действительно, любой начальной последовательности можно придумать много обоснований. Есть эффективный критерий для обоснования – принцип Оккама: минимальность длины записи, минимальность объема вычислений (n-го члена), минимальность «использования памяти». Если задача поставлена корректно, то последовательность минимальна по всем критериям. В противном случае, по разным критериям обоснования то хуже, то лучше – обоснования становятся несравнимы – и это вызывает споры. Красивость, изящность и т.п., по-моему, вполне согласуется с принципом Оккама. Этот принцип может использоваться и в «нематематических» случаях.

Одной из основных задач науки (и практики) – это построение/подбор (математических) моделей реального мира. Часто есть экспериментальные данные – нужно найти закон, которым они подчиняются. Примеры с последовательностями – это развитие/обнаружение навыка нахождения (подбора/построения) (математических) моделей.

[Gortaur]

Если подвести итог, то получается, что задачи из IQ тестов некорректны в математическом смысле - что не мешает быть им "корректными" в ином смысле. Спасибо.

[beroal]

mserg в сообщении #446320 писал(а):

Действительно, любой начальной последовательности можно придумать много обоснований. Есть эффективный критерий для обоснования – принцип Оккама: минимальность длины записи, минимальность объема вычислений (n-го члена), минимальность «использования памяти».

Вот только такое задание неприемлемо для тестов. Потому что перебрать все обоснования вряд ли удастся за ограниченное время, которое даётся на заполнение теста.

[mserg]

В критерии сравнения двух обоснований по принципу Оккама нет ни слова о методе поиска решения. Тем более перебор из него не вытекает.
Речь о том, что если есть два обоснования, то, при определенных условиях, их можно сравнить.

[Gortaur]

mserg
Что говорит Вам бритва Оккама про последовательность $2,6,15...$