Небольшая системка уравнений

[shur]

Где-то напутал тут, числа получились большие=) Подскажите, пожалуйста - где?!

Где-то напутал тут, числа получились большие=) Подскажите, пожалуйста - где?!

$$\begin{cases} x_1+2x_2+x_3-x_4+x_5=0 \\ 2x_1-x_2+x_3+x_4=0 \\ 3x_1-x_2-x_3+x_4=12\\ x_1-2x_3+2x_5=9\\ 2x_1-3x_2-2x_3+2x_4-x_5=12\\ \end{cases}$$

Расширенная матрица.

$$\left(\begin{array}{ccccc|c} 1& 2& 1&-1&1&0\\ 2&-1& 1&1&0&0\\ 3&-1&-1&1&0&12\\ 1& 0& -2& 0&2&9\\ 2&-3& -2& 2&-1&12\\ \end{array}\right)$$

Умножим 4 строку на 2, получим.

$$\left(\begin{array}{ccccc|c} 1& 2& 1&-1&1&0\\ 2&-1& 1&1&0&0\\ 3&-1&-1&1&0&12\\ 2& 0& -4& 0&4&18\\ 2&-3& -2& 2&-1&12\\ \end{array}\right)$$

Вычтем из 5 строки строку под номером 4.

$$\left(\begin{array}{ccccc|c} 1& 2& 1&-1&1&0\\ 2&-1& 1&1&0&0\\ 3&-1&-1&1&0&12\\ 2& 0& -4& 0&4&18\\ 0&-3& 2& 2&-5&-6\\ \end{array}\right)$$

Вычтем из 4 строки вторую

$$\left(\begin{array}{ccccc|c} 1& 2& 1&-1&1&0\\ 2&-1& 1&1&0&0\\ 3&-1&-1&1&0&12\\ 0& 1& -5& -1&4&18\\ 0&-3& 2& 2&-5&-6\\ \end{array}\right)$$

Умножим первую строку на 3

$$\left(\begin{array}{ccccc|c} 3& 6& 3&-3&3&0\\ 2&-1& 1&1&0&0\\ 3&-1&-1&1&0&12\\ 0& 1& -5& -1&4&18\\ 0&-3& 2& 2&-5&-6\\ \end{array}\right)$$

Вычтем из третьей строки - строку под номером один.

$$\left(\begin{array}{ccccc|c} 3& 6& 3&-3&3&0\\ 2&-1& 1&1&0&0\\ 0&-7&-4&4&-3&12\\ 0& 1& -5& -1&4&18\\ 0&-3& 2& 2&-5&-6\\ \end{array}\right)$$

Умножим первую строчку на 2, а вторую на 3

$$\left(\begin{array}{ccccc|c} 6& 12& 6&-6&6&0\\ 6&-3& 3&3&0&0\\ 0&-7&-4&4&-3&12\\ 0& 1& -5& -1&4&18\\ 0&-3& 2& 2&-5&-6\\ \end{array}\right)$$

Вычтем первую строчку из второй

$$\left(\begin{array}{ccccc|c} 6& 12& 6&-6&6&0\\ 0&-15& -3&9&-6&0\\ 0&-7&-4&4&-3&12\\ 0& 1& -5& -1&4&18\\ 0&-3& 2& 2&-5&-6\\ \end{array}\right)$$

Умножим 4 строку на 3

$$\left(\begin{array}{ccccc|c} 6& 12& 6&-6&6&0\\ 0&-15& -3&9&-6&0\\ 0&-7&-4&4&-3&12\\ 0& 3& -15& -3&12&54\\ 0&-3& 2& 2&-5&-6\\ \end{array}\right)$$

Прибавим четвертую строку к пятой

$$\left(\begin{array}{ccccc|c} 6& 12& 6&-6&6&0\\ 0&-15&-3&9&-6&0\\ 0&-7&-4&4&-3&12\\ 0& 3&-15&-3&12&54\\ 0&0&-13&-1&7&48\\ \end{array}\right)$$

Разделим первую строчку на шесть, а вторую на 3

$$\left(\begin{array}{ccccc|c} 1& 2& 1&-1&1&0\\ 0&-5& -1&3&-2&0\\ 0&-7&-4&4&-3&12\\ 0& 3& -15& -3&12&54\\ 0&0& -13& -1&7&48\\ \end{array}\right)$$

Умножим первую строку на 3, а четвертую умножим на 2

$$\left(\begin{array}{ccccc|c} 3& 6& 3&-3&3&0\\ 0&-5& -1&3&-2&0\\ 0&-7&-4&4&-3&12\\ 0& 6& -30& -6&24&108\\ 0&0& -13& -1&7&48\\ \end{array}\right)$$

Вычтем первую строчку из четвертой

$$\left(\begin{array}{ccccc|c} 3& 6& 3&-3&3&0\\ 0&-5& -1&3&-2&0\\ 0&-7&-4&4&-3&12\\ 0& 0& -33& -9&24&108\\ 0&0& -13& -1&7&48\\ \end{array}\right)$$

Разделим первую строчку на 3, и четвертую на 3

$$\left(\begin{array}{ccccc|c} 1& 2& 1&-1&1&0\\ 0&-5& -1&3&-2&0\\ 0&-7&-4&4&-3&12\\ 0& 0&-11&-3&8&36\\ 0&0&-13&-1&7&48\\ \end{array}\right)$$

Умножим первую строчку на 7, а третью на 2.

$$\left(\begin{array}{ccccc|c} 7& 14& 7&-7&7&0\\ 0&-5& -1&3&-2&0\\ 0&-14&-8&8&-6&24\\ 0& 0&-11&-3&8&36\\ 0&0&-13&-1&7&48\\ \end{array}\right)$$

Прибавим первую строчку к третьей

$$\left(\begin{array}{ccccc|c} 7& 14& 7&-7&7&0\\ 0&-5&-1&3&-2&0\\ 0&0&-1&1&1&24\\ 0&0&-11&-3&8&36\\ 0&0&-13&-1&7&48\\ \end{array}\right)$$

Разделим первую строчку на 7

$$\left(\begin{array}{ccccc|c} 1&2&1&-1&1&0\\ 0&-5&-1&3&-2&0\\ 0&0&-1&1&1&24\\ 0&0&-11&-3&8&36\\ 0&0&-13&-1&7&48\\ \end{array}\right)$$

Умножим третью строчку на 13

$$\left(\begin{array}{ccccc|c} 1& 2&1&-1&1&0\\ 0&-5&-1&3&-2&0\\ 0&0&-13&13&13&312\\ 0& 0&-11&-3&8&36\\ 0&0&-13&-1&7&48\\ \end{array}\right)$$

Вычитаем 3 строку из пятой

$$\left(\begin{array}{ccccc|c} 1& 2&1&-1&1&0\\ 0&-5& -1&3&-2&0\\ 0&0&-13&-39&13&312\\ 0& 0& -11& -3&8&36\\ 0&0& 0& -14&-6&=264\\ \end{array}\right)$$

Поделим 5 строку на 2

$$\left(\begin{array}{ccccc|c} 1& 2&1&-1&1&0\\ 0&-5& -1&3&-2&0\\ 0&0&-13&-39&13&312\\ 0& 0& -11& -3&8&36\\ 0&0& 0& -7&-3&=132\\ \end{array}\right)$$

[svv]

В исходной системе в третьем уравнении при $x_4$ коэффициент $+1$, а в расширенной матрице $-1$.

[shur]

svv в сообщении #444506 писал(а):

В исходной системе в третьем уравнении при $x_4$ коэффициент $+1$, а в расширенной матрице $-1$.

Спасибо, исправил...=)

[svv]

Все правильно до "вычтем первую строчку из четвертой".

$$\left(\begin{array}{ccccc|c}3& 6& 3&-3&3&0\\0&-5& -1&3&-2&0\\0&-7&-4&4&-3&12\\0& 6& -30& -6&24&108\\0&0& -13& -1&7&48\\\end{array}\right)$$

А в этом действии было сделано сразу три ошибки:

$$\left(\begin{array}{ccccc|c}3& 6& 3&-3&3&0\\0&-5& -1&3&-2&0\\0&-7&-4&4&-3&12\\0?& 0& -33& -9?&24?&108\\0&0& -13& -1&7&48\\\end{array}\right)$$

Очевидно, Вы к этому моменту уже очень устали. Сам я пользуюсь для проверки компьютером.
Должно быть:

$$\left(\begin{array}{ccccc|c}3& 6& 3&-3&3&0\\0&-5& -1&3&-2&0\\0&-7&-4&4&-3&12\\-3& 0& -33& -3&21&108\\0&0& -13& -1&7&48\\\end{array}\right)$$

Я написал "должно быть", но на самом деле, как видите, это действие вредное.
На данном этапе первую строчку прибавлять или отнимать уже нельзя -- это Вас отбросит назад, к худшему виду матрицы. Пользуйтесь другими строками.

[shur]

svv в сообщении #444506 писал(а):

В исходной системе в третьем уравнении при $x_4$ коэффициент $+1$, а в расширенной матрице $-1$.

Спасибо, большое! Сейчас сделаю по-другому)

-- Ср май 11, 2011 02:36:56 --

Продолжу отсюда)

Разделим первую строчку на шесть, а вторую на 3

$$\left(\begin{array}{ccccc|c} 1& 2& 1&-1&1&0\\ 0&-5& -1&3&-2&0\\ 0&-7&-4&4&-3&12\\ 0& 3& -15& -3&12&54\\ 0&0& -13& -1&7&48\\ \end{array}\right)$$

Умножим вторую строчку на 3, а четвертую на 5.

$$\left(\begin{array}{ccccc|c} 1& 2& 1&-1&1&0\\ 0&-15& -3&9&-6&0\\ 0&-7&-4&4&-3&12\\ 0& 15& -75& -15&60&270\\ 0&0& -13& -1&7&48\\ \end{array}\right)$$

Прибавим 2 строку к четвертой

$$\left(\begin{array}{ccccc|c} 1& 2& 1&-1&1&0\\ 0&-15& -3&9&-6&0\\ 0&-7&-4&4&-3&12\\ 0& 0& -78& -6&54&270\\ 0&0& -13& -1&7&48\\ \end{array}\right)$$

Разделим 2 строчку на 3, а четвертую на 6

$$\left(\begin{array}{ccccc|c} 1& 2& 1&-1&1&0\\ 0&-5& -1&3&-2&0\\ 0&-7&-4&4&-3&12\\ 0& 0& -13& -1&9&45\\ 0&0& -13& -1&7&48\\ \end{array}\right)$$

Умножим вторую строчку на 7, а третью на -5

$$\left(\begin{array}{ccccc|c} 1& 2& 1&-1&1&0\\ 0&-35& -7&21&-14&0\\ 0&35&20&-20&15&-60\\ 0& 0& -13& -1&9&45\\ 0&0& -13& -1&7&48\\ \end{array}\right)$$

Прибавим вторую строчку к третьей

$$\left(\begin{array}{ccccc|c} 1& 2& 1&-1&1&0\\ 0&-35& -7&21&-14&0\\ 0&0&13&1&1&-60\\ 0& 0& -13& -1&9&45\\ 0&0& -13& -1&7&48\\ \end{array}\right)$$

Прибавим третью строку к четвертой

$$\left(\begin{array}{ccccc|c} 1& 2& 1&-1&1&0\\ 0&-35&-7&21&-14&0\\ 0&0&13&1&1&-60\\ 0& 0&0&0&10&-15\\ 0&0&-13&-1&7&48\\ \end{array}\right)$$

Поменяем четвертую и пятую строчку местами

$$\left(\begin{array}{ccccc|c} 1& 2& 1&-1&1&0\\ 0&-35& -7&21&-14&0\\ 0&0&13&1&1&-60\\ 0&0& -13& -1&7&48\\ 0& 0& 0& 0&10&-15\\ \end{array}\right)$$

Прибавим к четвертой строчке третью и разделим пятую на 5

$$\left(\begin{array}{ccccc|c} 1& 2& 1&-1&1&0\\ 0&-35& -7&21&-14&0\\ 0&0&13&1&1&-60\\ 0&0& 0& 0&8&-12\\ 0& 0& 0& 0&2&-3\\ \end{array}\right)$$

Разделим четвертую строчку на 4

$$\left(\begin{array}{ccccc|c} 1& 2& 1&-1&1&0\\ 0&-35& -7&21&-14&0\\ 0&0&13&1&1&-60\\ 0&0& 0& 0&2&-3\\ 0& 0& 0& 0&2&-3\\ \end{array}\right)$$

Пятая и четвертая строчка -- одинаковые, поэтому достаточно оставить четвертую

$$\left(\begin{array}{ccccc|c} 1& 2& 1&-1&1&0\\ 0&-35& -7&21&-14&0\\ 0&0&13&1&1&-60\\ 0&0& 0& 0&2&-3\\ \end{array}\right)$$

[svv]

Да, все правильно.
Единственное небольшое замечание -- вместо
"Умножим 3 строчку на 7, а третью на -5"
следует читать
"Умножим 2 строчку на 7, а третью на -5".

[shur]

svv в сообщении #444547 писал(а):

Да, все правильно.
Единственное небольшое замечание -- вместо
"Умножим 3 строчку на 7, а третью на -5"
следует читать
"Умножим 2 строчку на 7, а третью на -5".

Спасибо, я там еще знак проглотил) Уже исправил)

-- Ср май 11, 2011 03:14:49 --

$$\left(\begin{array}{ccccc|c} 1& 2& 1&-1&1&0\\ 0&-35& -7&21&-14&0\\ 0&0&13&1&1&-60\\ 0&0& 0& 0&2&-3\\ \end{array}\right)$$

Меняем 4 и пятый столбец местами с учетом того, что 4 отвечает за $x_4$, а пятый за $x_5$

$$\left(\begin{array}{ccccc|c} 1& 2& 1&1&-1&0\\ 0&-35& -7&-14&21&0\\ 0&0&13&1&1&-60\\ 0&0& 0& 2&0&-3\\ \end{array}\right)$$

Сначала ищем общее решение однородной системы уравнений

$$\left(\begin{array}{ccccc|c} 1& 2& 1&1&-1&0\\ 0&-35& -7&-14&21&0\\ 0&0&13&1&1&0\\ 0&0& 0& 2&0&0\\ \end{array}\right)$$

А как его лучше искать?!

[shur]

Сначала ищем общее решение однородной системы уравнений

$$\left(\begin{array}{ccccc|c} 1& 2& 1&1&-1&0\\ 0&-35& -7&-14&21&0\\ 0&0&13&1&1&0\\ 0&0& 0& 2&0&0\\ \end{array}\right)$$

Для удобства, разделим на 7 второе уравнение

$$\left(\begin{array}{ccccc|c} 1& 2& 1&1&-1&0\\ 0&-5& -1&-2&3&0\\ 0&0&13&1&1&0\\ 0&0& 0& 1&0&0\\ \end{array}\right)$$

Перепишем в виде системы уравнений

$$\begin{cases} x_1+2x_2+x_3-x_4+x_5=0 \\ -5x_2-x_3-2x^5+3x_4=0 \\ 13x_3+x_4+x_5=0\\ 2x_5 =0\\ \end{cases}$$

Делаем $x_4=C$

$$\begin{cases} x_1+2x_2+x_3+x_5=C\\ -5x_2-x_3-2x_5=-3С \\ 13x_3+x_5=-C\\ 2x_5=0\\ \end{cases}$$

Из последнего уравнения следует, что $x_5=0$, а из предпоследнего, что $x_3=-\dfrac{C}{13}$

$$\begin{cases} x_1+2x_2+x_3 = C\\ -5x_2-x_3=-3С \\ x_3=-\frac{C}{13}\\ x_5=0\\ \end{cases}$$

Подставляя $x_3=-\dfrac{C}{13}$ во второе уравнение, получим

$$\begin{cases} x_1+2x_2+x_3=C\\ -5x_2=-3С-\frac{C}{13}=-\frac{40C}{13}\\ x_3=-\dfrac{C}{13}\\ x_5=0\\ \end{cases}$$

Делим второе уравнение на $-5$

$$\begin{cases} x_1+2x_2+x_3=C\\ x_2=\frac{8C}{13}\\ x_3=-\frac{C}{13}\\ x_5=0\\ \end{cases}$$

Подставляем $x_2$ и $x_3$ из второго и третьего уравнения в первое

$$\begin{cases} x_1+2\cdot \frac{8C}{13}-\frac{C}{13}=C\\ x_2=-\frac{8C}{13}\\ x_3=-\frac{C}{13}\\ x_5=0\\ \end{cases}$$

Преобразуя первое уравнение...

$$x_1=C+\dfrac{C}{13}-2\cdot\dfrac{8C}{13}=\dfrac{13C+C-16C}{13}=-\dfrac{2C}{13}$$

$$\begin{cases} x_1= -\frac{2C}{13}\\ x_2=\frac{8C}{13}\\ x_3=-\frac{C}{13}\\ x_5=0\\ \end{cases}$$

Общее решение однородной системы совпадает с ответом(

Ответ должен быть таким

А как найти частное решение неоднородной системы?

(Оффтоп)

[c]Еще рано...

$$\begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\\ x_5\\ \end{pmatrix}$$

[/c]

[shur]

Чтобы найти частное решение неоднородной системы

$$\left(\begin{array}{ccccc|c} 1& 2& 1&1&-1&0\\ 0&-35& -7&-14&21&0\\ 0&0&13&1&1&-60\\ 0&0& 0& 2&0&-3\\ \end{array}\right)$$

Положим $x_4=0$

$$\left(\begin{array}{cccc|c} 1& 2& 1&1&0\\ 0&-35& -7&-14&0\\ 0&0&13&1&-60\\ 0&0& 0& 2&-3\\ \end{array}\right)$$

Перепишем в виде системы уравнений

$$\begin{cases} x_1+2x_2+x_3+x_5=0\\ -5x_2-x_3-2x^5=0 \\ 13x_3+x_5=-60\\ 2x_5 =-3\\ \end{cases}$$

Из 4 уравнения следует, что

$$x_5=-\dfrac{3}{2}$$

, подставим его в 3 уравнение

$$\begin{cases} x_1+2x_2+x_3+x_5=0\\ -5x_2-x_3-2x^5=0\\ 13x_3-\frac{3}{2}=-60\\ x_5 =-\frac{3}{2}\\ \end{cases}$$

$$\begin{cases} x_1+2x_2+x_3+x_5=0 \\ -5x_2-x_3-2x^5=0\\ 13x_3=\frac{3}{2}-60\\ x_5 =-\frac{3}{2}\\ \end{cases}$$

$$\begin{cases} x_1+2x_2+x_3+x_5=0\\ -5x_2-x_3-2x^5=0\\ 13x_3=\frac{3-120}{2}\\ x_5 =-\frac{3}{2}\\ \end{cases}$$

$$\begin{cases} x_1+2x_2+x_3+x_5=0\\ -5x_2-x_3-2x^5=0\\ 13x_3=\frac{117}{2}\\ x_5 =-\frac{3}{2}\\ \end{cases}$$

$$\begin{cases} x_1+2x_2+x_3+x_5=0\\ -5x_2-x_3-2x^5=0\\ x_3=-\frac{9}{2}\\ x_5 =-\frac{3}{2}\\ \end{cases}$$

Теперь подставим $x_3$ и $x_5$ во второе уравнение из третьего и четвертого

$$\begin{cases} x_1+2x_2+x_3+x_5=0 \\ -5x_2+\frac{9}{2}+2\frac{3}{2}=0\\ x_3=-\frac{9}{2}\\ x_5 =-\frac{3}{2}\\ \end{cases}$$

$$\begin{cases} x_1+2x_2+x_3+x_5=0\\ -5x_2+6=0 \\ x_3=-\frac{9}{2}\\ x_5 =-\frac{3}{2}\\ \end{cases}$$

$$\begin{cases} x_1+2x_2+x_3+x_5=0\\ x_2=-\frac{6}{5}\\ x_3=-\frac{9}{2}\\ x_5 =-\frac{3}{2}\\ \end{cases}$$

Теперь подставим $x_3$ и $x_5$ и $x_2$ в первое уравнение из второго, третьего и четвертого

$$\begin{cases} x_1-2\frac{6}{5}-\frac{9}{2}-\frac{3}{2}=0\\ x_2=-\frac{6}{5}\\ x_3=-\frac{9}{2}\\ x_5 =-\frac{3}{2}\\ \end{cases}$$

$$\begin{cases} x_1-2\frac{6}{5}-6=0\\ x_2=-\frac{6}{5}\\ x_3=-\frac{9}{2}\\ x_5 =-\frac{3}{2}\\ \end{cases}$$

$$\begin{cases} x_1-\frac{12+30}{5}=0\\ x_2=-\frac{6}{5} \\ x_3=-\frac{9}{2}\\ x_5 =-\frac{3}{2}\\ \end{cases}$$

$$\begin{cases} x_1=\frac{42}{5}=8,4\\ x_2=-\frac{6}{5}=-1,2\\ x_3=-\frac{9}{2}=-4,5\\ x_4=0\\ x_5 =-1,5\\ \end{cases}$$

Получается, что частное решение удовлетворяет первому и второму уравнению исходной системы, а 4 не удовлетворяет...с чем это может быть связано?

[svv]

shur, простите, у меня сейчас проблемы на работе, я не могу Вам уделить время. Может быть, кто-то ещё поможет?

[ИСН]

shur, нам очень приятно видеть такое добросовестное отношение к набору формул, но всему есть предел. Кончайте этот парад роботов, и употребите своё трудолюбие по назначению, а именно - на проверку выводов. Можете, например, брать ответ из книги и подставлять в каждое уравнение на каждом шаге. Где он перестанет подходить, там и ошибка. Иначе не бывает. Воробей - птица. Россия - наше отечество. Смерть неизбежна.

[shur]

svv в сообщении #445142 писал(а):

shur, простите, у меня сейчас проблемы на работе, я не могу Вам уделить время. Может быть, кто-то ещё поможет?

Ок, хорошо, спасибо!

-- Чт май 12, 2011 23:47:13 --

ИСН в сообщении #445152 писал(а):

shur, нам очень приятно видеть такое добросовестное отношение к набору формул, но всему есть предел. Кончайте этот парад роботов, и употребите своё трудолюбие по назначению, а именно - на проверку выводов. Можете, например, брать ответ из книги и подставлять в каждое уравнение на каждом шаге. Где он перестанет подходить, там и ошибка. Иначе не бывает. Воробей - птица. Россия - наше отечество. Смерть неизбежна.

Хорошо, спасибо!

[Yu_K]

Смущает немного - почему взяли $x_4=0$?

(Оффтоп)

Продолжение парада роботов
$x_1 = - 2/13 t + 3$
$ x_2 = 8/13 t + 3/2 $
$ x_3 = - 1/13t-9/2 $
$ x_5 = - 3/2 $
$x_4=t$ - свободная переменная.

[shur]

Yu_K в сообщении #445285 писал(а):

Смущает немного - почему взяли $x_4=0$?

(Оффтоп)

Продолжение парада роботов
$x_1 = - 2/13 t + 3$
$ x_2 = 8/13 t + 3/2 $
$ x_3 = - 1/13t-9/2 $
$ x_5 = - 3/2 $
$x_4=t$ - свободная переменная.

Спасибо, во всем разобрался!!! $x_4$ взял равном нулю, потому что так удобнее считать)))