Задачи по топологии

[likusta]

1. Доказать, что каждое непрерывное отображение шара $D^n$ в себя всегда имеет неподвижную точку.
2. Почему недостаточно второго и третьего движений Рейдемейстера для установления эквивалентности двух плоских диаграмм узлов?
3. Пусть $f:$$S^{2n}\to S^{2n}$-непрерывное отображение. Доказать, что найдется точка, для которой либо $f(x)=x$, либо $f(x)= -x$.

Во второй, я думаю, что достаточно посмотреть, как изменяется количество перекрестков, второе и третье движение не меняет четность.

[Dan B-Yallay]

1) Теорема Брауэра в качестве упражнения?

[likusta]

Dan B-Yallay в сообщении #444139 писал(а):

1) Теорема Брауэра в качестве упражнения?

Да. Строгое доказательство мне пока не нужно, нужна идея, а дальше её можно будет развивать.

[gris]

По моему само доказательство не сложно, если оно опирается на довольно сложное утверждение, что нельзя непрерывно отобразить шар на ограничивающую его сферу, причём каждая точка сферы при этом остаётся на месте.
Если предположить, что неподвижной точки нет, то можно провести единственный луч от образа точки к ней самой до пересечения со сферой. И показать, что при этом образуется непрерывное отображение шара на сферу. Конечно, это тоже надо строго доказать.

Интересно прочувствовать, почему невозможна непрерывность для аналогичного рассуждения в случае неподвижной точки.