Особые точки уравнения, предельный цикл, дифуры.

[Wahlberg]

Задание:
Найти особые точки уравнения, определить их тип. Построить схематические интегральные кривые в окрестности каждой особой точки. Построить фазовый портрет.

Представляю в виде системы
$\acute{x}=y$
$\acute{y}=\exp(-4y/x)-x^3$
Дальше по сути нужно представлять в виде уравнений

$\acute{x}=y$
$\acute{y}=ax+by+\varphi(x,y){l}$, но вот как представить, где-то написанно через ряд тейлора, попробывал - получился бред.

Посоветовали прочесть Филлипова - протчёл, не помогло. Как решить, или где нибудь дайте пример пожалуйста, а то я уже три дня в инете ищу и ничего подобного не найду.

п.с. модераторы, сейчсас оформлю в мате, не удаляйте

[ИСН]

Подождите, зачем представлять в таком виде? Особые точки-то где? Да, и что это такое? Это точки, где производные равны чему? Или, другими словами, это точки, где нулю равно что?

(Оффтоп)

Wahlberg в сообщении #442829 писал(а):

сейчсас оформлю в мате

сначала подумал нехорошее

[Wahlberg]

Ну в Филлипове было сказанно представленно в системе, потом одно делить на другое. Особые точки при y=0, x=1, просто у них всегда были линейные функции, они далее составляли матрицу детерминант которой равен нулю и решали как характеристическое уравнение., но экспанента явно не подлежит виду ax+by как бы ее не расскрывать в данном случае, поэтому я уже и сюда обратился, обычно рекдко так делаю, но совсем в отчаяние:(

[Someone]

Wahlberg в сообщении #442880 писал(а):

но совсем в отчаяние:(

Ну, дык, здесь ключевой вопрос - определение особой точки системы

$$\begin{cases}\dot x=P(x,y),\\ \dot y=Q(x,y).\end{cases}$$

Пока этого определения не будет, Вам остаётся только отчаиваться. Или разыскать это определение.

[ИСН]

А, нашли точку? Хорошо, теперь давайте в её окрестности раскладывать что-то там в ряд Тейлора.

[Wahlberg]

$\acute{y}=1-4y/x -x^3+\varphi(x,y)$ - лично я так понял разложение

AKM:

\varphi $\varphi$

[ewert]

Wahlberg в сообщении #443002 писал(а):

$\acute{y}=1-4y/x -x^3+phi(x,y)$ - лично я так понял разложение

Неправильно поняли. Просто замените правые части в окрестности особой точки на их дифференциалы $P'_x\Delta x+P'_y\Delta y$ и $Q'_x\Delta x+Q'_y\Delta y$.

[Wahlberg]

ewert в сообщении #443005 писал(а):

Wahlberg в сообщении #443002 писал(а):

$\acute{y}=1-4y/x -x^3+phi(x,y)$ - лично я так понял разложение

Неправильно поняли. Просто замените правые части в окрестности особой точки на их дифференциалы $P'_x\Delta x+P'_y\Delta y$ и $Q'_x\Delta x+Q'_y\Delta y$.

Это тоесть
$x'=1*\Delta x + 0*\Delta y$

$y'=exp(-4y/x)*(4y/x^2)*\Delta x + exp(-4y/x)*(-4/x)\Delta y$

так?

[ИСН]

Числа подставьте.

[Wahlberg]

$x'=1* \Delta x$

$y'=-4* \Delta y$

так?

[ИСН]

Так. Только там не так совсем.

[Wahlberg]

дифференциалы взял не так - или что?

[Wahlberg]

Wahlberg в сообщении #443015 писал(а):

ewert в сообщении #443005 писал(а):

Wahlberg в сообщении #443002 писал(а):

$\acute{y}=1-4y/x -x^3+phi(x,y)$ - лично я так понял разложение

Неправильно поняли. Просто замените правые части в окрестности особой точки на их дифференциалы $P'_x\Delta x+P'_y\Delta y$ и $Q'_x\Delta x+Q'_y\Delta y$.

Это тоесть
$x'=1*\Delta x + 0*\Delta y$

$y'=exp(-4y/x)*(4y/x^2)*\Delta x + exp(-4y/x)*(-4/x)\Delta y$$-3x^2\Delta x$

$x'=1\Delta y$

$y'=-4\Delta y - 3\Delta x$
так?

Вот так вот должно получиться и дальше матрицу делать?

[ИСН]

Ага, так-то лучше. Теперь дальше, как там положено.

[Wahlberg]

вопрос, а что если после того как я беру производную от функции у меня получается две точки x=0 y=0; x=0, y=0

-- Пн май 09, 2011 15:50:37 --

и еще такой план нормальный http://petrsu.karelia.ru/Chairs/MMSU/qa_ds.pdf , 20 страница, ну всмысле по нему решать:)?