RMSE distribution

[Neytrall]

Здраствуйте. Я пытаюсь найти распределение RMSE. Надеюсь, что это возможно и я не зря трачу время. Мне очень нужна ваша помощь в продолжении:

Let $x_{ij}, i=1...I_j j=1...J$ to be the outcome of game number $i$ in category $j$, $x_{ij}\in\{0,1\}$ .
We can assume $x_{ij}\sim Ber(p_j) $ , where $ p_j=\sum\limits_{i=1}^{I_j}\frac{x_{ij}}{I_j}$.
Now we can define
$\sum\limits_{i,j}(p_{ij}-x_{ij})^2=\sum\limits_{i,j}(p_{ij}^2-2x_{ij}p_{ij}+x_{ij}^2)=\sum\limits_{i,j}p_{ij}^2-2\sum\limits_{i,j}x_{ij}p_{ij}+\sum\limits_{i,j}x_{ij}^2=\sum\limits_{i,j}p_{ij}^2-2\sum\limits_{i,j}x_{ij}p_{ij}+\sum\limits_{i,j}x_{ij}=\sum\limits_{i,j}p_{ij}^2+\sum\limits_{i,j}x_{ij}(1-2p_{ij})=...$
А как дальше это можно превести к чему-нибудь более знакомому я не знаю. Если бы в для каждой категории $p_j$ был одинаковым, то можно было бы превести это распределение под биномиальное.
Поможете?