Пары и степени

[Xenia1996]

Доказать, что существует бесконечно много таких пар $(a, b)$ натуральных чисел, что:

1. $a>b>1$.
2. Для каждого натурального $k$ существует натуральное $n$, при котором $an+b$ является степенью натурального числа с показателем $k$.

[Руст]

Можно взять $b=1$ и произвольное $a$.
Для любого $k$ число $n$ можно взять из условия $n=\frac{(a+1)^k-1}{a}.$

[Xenia1996]

Руст в сообщении #442487 писал(а):

Можно взять $b=1$ и произвольное $a$.
Для любого $k$ число $n$ можно взять из условия $n=\frac{(a+1)^k-1}{a}.$

b должно быть больше 1 по условию.

[Руст]

Тогда $(a,b)=d>1$. Можно взять любые пары $a=2p,b=p$. где $p$ - нечетное простое число.
Тогда можно взять $n=\frac{p^{k-1}-1}{2}.$