Доказать, что сумма не имеет действительных корней.

[vasyakk]

Здравствуйте,

Попалось мне вот такое задание:
Доказать, что $\sum\limits_{k=0}^{2n}\frac{x^k}{k!}=0$ не имеет действительных корней.

Попробовал ряд $\sum\frac{x^k}{k!}$ на сходимость - сходится по признаку Даламбера. В какую сторону идти дальше - ума не приложу.
Подтолкните в нужную сторону, пожалуйста.

[nnosipov]

Попробуйте рассуждать по индукции. Делая шаг индукции, возьмите производную левой части уравнения.

[Евгений Машеров]

Огрызок ряда для экспоненты. Если сумма оставшихся членов ряда меньше $e^x$ для всех х, то сумма первых 2n элементов положительна...

[svv]

Евгений Машеров писал(а):

Если сумма оставшихся членов ряда меньше $e^x$ для всех $x$...

Как удостовериться в этом для $x<0$?

[Tlalok]

а нельзя ли использовать тот факт, что $e^x$ принимает только положительные значения для всех действительных $x$?

[ИСН]

Очень Вам поможет этот факт? И, минуточку, он многочлен, она экспонента - что между ними общего?

[nnosipov]

Раз зашла речь об "огрызках" ряда Тейлора, вот ещё один:

$$\sum_{k=0}^{2n}\frac{x^k}{k}.$$

Доказать то же самое. Предыдущая задача устная, а здесь немного поинтересней. (А все эти экспоненты с логарифмами лучше забыть, это, наоборот, только сбивает.)

[svv]

Если взять производную, получится прогрессия.

[nnosipov]

svv в сообщении #442660 писал(а):

Если взять производную, получится прогрессия.

Конгениально!

[svv]

Так как старшая степень "огрызка" четная, и коэффициент при ней положителен, то "огрызок" ограничен снизу. Нужно проверить, что даже в минимумах он больше нуля.
Производная -- сумма той конгениальной прогрессии -- равна $\frac{x^{2n}-1}{x-1}$. Обращается в $0$ только при $x=-1$. Подставляем в полином... и получаем отрицательное значение!

[nnosipov]

Это я что-то с условием напутал. Видимо, должно быть

$$1+\sum_{k=1}^{2n}\frac{x^k}{k}$$

.

[svv]

Ясно. Вы могли начальную единицу заменить на любое число, большее $\ln 2$.
Задачка в любом случае интересна -- ну, заменим задание "доказать, что нет корней" на "выяснить, есть ли корни".