Симметричный, но нетранзитивный предикат?

[Dims]

Можно ли составить такой предикат (двухместная функция с произвольным множеством определения и двузначным множеством значений), чтобы П(а,б) = П(б,а) для любых а и б, но при этом из П(а,б) и П(б,в) не следовало бы П(а,в)?

Вроде бы можно. А есть ли какие-нибудь фундаментальные предикаты или булевы функции с таким свойством?

Пасибки.

[PAV]

Отношение $\ne$

[Dims]

Ну да. А если усилить? Пусть из П(а,б) и П(б,в) и П(в, г) не следует П(а,г)? Соответственно, можно ли усилить до бесконечности?

[Brukvalub]

Если область определения предложенного PAV предиката является бесконечным множеством, то, как мне кажется, он сохраняет требуемое Вами свойство для сколь угодно длинных цепочек.

[Someone]

Если понимать утверждение "из $\Pi(a_0,a_1)\&\Pi(a_1,a_2)\&\ldots\&\Pi(a_{n-1},a_n)$ не следует $\Pi(a_0,a_n)$" обычным образом, то есть, как "существуют такие $a_0,a_1,a_2,\ldots a_n$, что $\Pi(a_0,a_1)\&\Pi(a_1,a_2)\&\ldots\&\Pi(a_{n-1},a_n)$ верно, а $\Pi(a_0,a_n)$ неверно", то для любого $n\geqslant 2$ годится множество из трёх элементов $0,1,2$ со следующим предикатом $\Pi$: $\Pi(0,1)$, $\Pi(1,0)$, $\Pi(1,2)$, $\Pi(2,1)$ и $\Pi(2,2)$ истинны, $\Pi(0,2)$ и $\Pi(2,0)$ ложны. Тогда можно взять $a_0=0$, $a_1=1$, $a_k=2$ при всех $k\geqslant 2$.

[PAV]

Dims писал(а):

Ну да. А если усилить? Пусть из П(а,б) и П(б,в) и П(в, г) не следует П(а,г)? Соответственно, можно ли усилить до бесконечности?

Это не является "усилением" условия в математическом смысле. Это просто другое условие. Конечно же, отношение $\ne$ годится для всех случаев. Можно придумать и другие примеры, только есть ли в этом смысл? Условие какое-то неестественное.