Простое решение неравенства с параметром

[nnosipov]

Это, конечно, не олимпиадная задача, но, полагаю, её вполне можно отнести к разряду "нетривиальных и нестандартных учебных задач". Требуется для всех значений параметра $a$ решить неравенство

$$-\sqrt{a-\sqrt{a+x}}>x.$$

Можно ли здесь обойтись без картинок? Иными словами, есть ли у этой задачи разумное решение вне рамок аналитической геометрии?

[gris]

Так как корень в области определения левой части неотрицателен, то решением могут быть только отрицательные икс. Внутренний корень тогда определён только при положительных а. Надо рассмотреть случай а не меньше 1, тогда внешний корень определён при любых отрицательных икс и неравенство можно возвести в квадрат. А при а из интервала 0 до 1 придётся перед этим определить облась определения для внешнего корня. Это начало.

[Руст]

Это очень мало. Так как выражать х через а бессмысленно (решать надо уравнение четвертой степени) надо решать квадратное уравнение относительно а, решениями которой являются $a=x^2-x$ и $a=x^2+x+1$, т.е. a должен быть в интервале
$x^2-x<a<x^2-x+1$. Дальше можно выразить и х через а. Но меня эта задача не привлекла, чтобы не ленится писать полное решение.

[nnosipov]

Написать подробное решение этой задачи --- хорошее методическое упражнение для школьного учителя. Конечно, возникает вопрос, а стоит ли это делать, ведь координатно-параметрический метод довольно легко приводит к правильному ответу. Но, с другой стороны, ни в одном школьном учебнике нет и намёка на этот метод, да и сами учителя в подавляющей массе с ним не знакомы.

[Mr. X]

nnosipov в сообщении #441244 писал(а):

Написать подробное решение этой задачи --- хорошее методическое упражнение для школьного учителя. Конечно, возникает вопрос, а стоит ли это делать, ведь координатно-параметрический метод довольно легко приводит к правильному ответу. Но, с другой стороны, ни в одном школьном учебнике нет и намёка на этот метод, да и сами учителя в подавляющей массе с ним не знакомы.

Как-то уж очень безапелляционно насчет "подавляющей массы" школьных учителей... . Не стоит столь масштабно экстраполировать свой нерепрезентативный опыт.