Конформное отображение

[nevero]

Здравствуйте. Помогите пожалуйста с таким вопросом.

Требуется отобразить круг $|z|<1$ на себя так, чтобы заданные точки $z_1,z_2$ внутри круга перешли в точки $+/-a, (0 < a <1)$. И собственно требуется найти эти точки.

Я думал надо действовать так: найти прямую или окружность, относительно которой эти точки будут симметричны и перевести прямую/окружность при дробно-линейном отображении так, чтобы точки стали симметричными относительно нуля.
Проблема встала в том, что подобные прямые/окружности я найти не могу...

Какие ещё возможны варианты для данной задачи?

[Полосин]

Откройте любой учебник по ТФКП и найдите общий вид конформного отображения круга на себя. Это стандартная задача.

[nevero]

Стандартное отображение переводит внутреннюю точку в центр, поэтому точки в симметричные никак не перейдут...

Это было бы просто, если точки лежали симметрично относительно радиуса круга.Тогда середину отрезка, соединяющего две точки переводим в центр и готово. Но в общем случае это явно не приводит к результату.

[Полосин]

А что, если не в центр, то это уже не стандартное отображение? ОТКРОЙТЕ УЧЕБНИК ПО ТФКП!

[nevero]

Не спорю, можно и не в центр. Для этого достаточно отобразить первую точку исходного круга в центр и конечную точку конечного круга в центр. За счет конформности отображений искомое отображение существует.

Но все это касается только одной точки, а 2 разные точки нужно отобразить в симметричные...

[ewert]

Ну уж всяко можно перевести одну точку в ноль, а потом поворотом получившийся образ другой точки на вещественную ось; пусть это будет $b$. Теперь просто подбираем вещественно-аналитическое преобразование $w=\dfrac{z-\gamma}{\gamma z-1}$ так, чтобы развести точки $0$ и $b$ симметрично относительно нуля, т.е. чтобы было $\dfrac{-0+\gamma}{0-1}=\dfrac{b-\gamma}{\gamma b-1}$ (выбираем, естественно, тот корень $\gamma$, который меньше единицы).