Каноническое уравнение гиперболы

[shur]

Нужно найти каноническое уравнение гиперболы, если даны асимптоты $y=\pm \dfrac{1}{2}x$
и известно, что гипребола проходит через точку $(5;1)$

Можно ли сделать так?! Правильно ли я понимаю

Канон уравнение

$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$

Нужно найти a u b

Подставим координаты точки.

$\dfrac{5^2}{a^2}+\dfrac{1^2}{b^2}=1$

Одно уравнение, 2 неизвестных, еще нужно условие

Затем уравнение асимтоты нужно использовать, но как?

Можно ли подставить $y=\pm \dfrac{1}{2}x$ в канонич уравнение, затем выразить $x$ и устремить его к бесконечности, получив условие на полуоси?)

-- Пн май 02, 2011 21:36:48 --

$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{x^2}{4b^2}=1$

$\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{4b^2}$

$\lim\limits_{x \to \infty}\dfrac{1}{x^2}=0=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{4b^2}$

[oveka]

Смотри каноническое уравнение.
Смотри смысл a и b на графике гиперболы.

[shur]

oveka в сообщении #441058 писал(а):

Смотри каноническое уравнение.
Смотри смысл a и b на графике гиперболы.

Спасибо! Что такое каноническое уравнение -- я написал в 1 сообщении

a -- Расстояние от центра гиперболы до одной из вершин

b -- Расстояние от фокуса до асимптоты гиперболы

А зачем это нужно?!

[arseniiv]

Не; во-первых, ваше уравнение не является каноническим уравнением гиперболы.

[shur]

Ой, да, там минус, перепутал, спасибо, а как быть тогда?)))

-- Пн май 02, 2011 22:54:54 --

$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$

[shur]

В принципе, можно устремить x к бесконечности в исправленном варианте, но подозреваю, что это неправильно...А как правильно?))

[Dan B-Yallay]

Выразите $y$ через $x$ и затем уже устремляйте.

[Someone]

А как выглядят уравнения асимптот для гиперболы $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\pm 1$? (Здесь две гиперболы с одинаковыми асимптотами; только одна из этих гипербол может проходить через заданную точку, не лежащую на асимптотах.)

[shur]

Dan B-Yallay в сообщении #441117 писал(а):

Выразите $y$ через $x$ и затем уже устремляйте.

Спасибо!
Вообще если выразить через $y$ получится как в википедии

Гипербола, в её каноническом виде, задается парой функций:

$y = \pm\frac{b}{a}\sqrt{x^2 - a^2}$
Угловой коэффициент асимптоты можно найти следующим образом:

$$\lim_{x \to \infty}\pm\frac{b \sqrt{x^2 - a^2}}{a x} = \pm\frac{b}{a}\lim_{x \to \infty}\frac{\sqrt{x^2 - a^2}}{x} = \pm\frac{b}{a}$$

тогда у нас по условию $ \dfrac{b}{a}=\dfrac{1}{3}$

Это и есть второе условие, с помощью которого можно решить систему уравнений. Правильно ли я понимаю?!

-- Вт май 03, 2011 00:41:23 --

Someone в сообщении #441118 писал(а):

А как выглядят уравнения асимптот для гиперболы $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\pm 1$? (Здесь две гиперболы с одинаковыми асимптотами; только одна из этих гипербол может проходить через заданную точку, не лежащую на асимптотах.)

Спасибо! Это инверсия осей что ли?! У нас точка лежит ниже асимптоты, поэтому устраивает вариант $+$ , правильно?!

[Dan B-Yallay]

shur писал(а):

тогда у нас по условию $ \dfrac{b}{a}=\dfrac{1}{3}$

$ \pm \dfrac1 2 \ ?$

shur писал(а):

Это и есть второе условие, с помощью которого можно решить систему уравнений. Правильно ли я понимаю?!

[shur]

Спасибо) Да, опечатался)