Задача о простых числах

[Xenia1996]

$n$ и $m$ - натуральные числа.
Известно, что $5^n+2\cdot 3^{n-1}+1=16m$
Доказать, что если количество натуральных делителей числа $n$ (включая единичку и само число $n$) является простым числом, то и само $n$ является простым числом.

[maxal]

Намудрили.
$5^n+2\cdot 3^{n-1}+1=16m$ означает по-просту, что $n$ дает при делении на 4 в остатке 2 или 3.
А условие "количество натуральных делителей числа $n$ является простым числом" - то, что $n$ является $(p-1)$-й степенью простого числа, где $p$ - простое. Однако, если $p$ - нечетное простое, то $n$ является квадратом, а потому сравнимо с 0, 1 по модулю 4. Поэтому $p=2$, и $n$ - само является простым.

[Xenia1996]

maxal в сообщении #440998 писал(а):

Намудрили.

Это я намудрила
Зато какую конфетку вот из этой задачи сделала (номер 2):

http://www.iis.it-hiroshima.ac.jp/~ohka ... v1912.html